Gli insiemi enumerabili in modo ricorsivo formano una copertura per$\mathbb{N}$? Se sì, quali ulteriori condizioni di saturazione soddisfa?
Gli insiemi enumerabili in modo ricorsivo sono una raccolta di sottoinsiemi di$\mathbb{N}$, la cui definizione è ben nota e si trova su Wikipedia qui . Ieri, mi è capitato di imbattermi in una definizione di "Spazi topologici generalizzati", qui (definizione 2.2.1) (d'ora in poi denominata GTS). La definizione è ampia e chiedo al lettore di controllare il collegamento, ma per il bene del testo della domanda; una tripla$(X, Op_X, Cov_X)$, con un set$X$, una raccolta di insiemi aperti$Op_X\in 2^X$, e rivestimenti ammissibili$Cov_X\in 2^{2^X}$(quest'ultimo distingue GTS dalla topologia regolare; i sindacati non sono arbitrari ma invece limitati a$Cov_X$) forma un GTS se la tripla soddisfa alcune condizioni, da A1 ad A8.
Possiamo quindi verificare se il triplo$(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$forma un tale spazio (dove$RE$è la raccolta di insiemi ricorsivamente enumerabili, e$Cov_{RE}$è la raccolta delle collezioni$C$di$RE$elementi tali che$C$è esso stesso ricorsivamente enumerabile[1]). Si scopre che non è così: le condizioni A7 e A8 (gli assiomi di saturazione[2] e regolarità) falliscono per questa terna.
Il prossimo passo qui è considerare cosa succede se ignoriamo semplicemente dette condizioni di fallimento o, in altre parole, generalizziamo ulteriormente il GTS. Lo stesso testo che presenta la definizione di GTS spiega che tale definizione è correlata alle topologie di Grothendieck, ma qui incontriamo un intoppo; mentre la definizione di GTS è stata spiegata con un semplice linguaggio teorico degli insiemi, la topologia di Grothendieck è, per quanto ne so, un concetto profondamente radicato nella teoria delle categorie, il cui linguaggio sono ancora lontano dalla comprensione. Tuttavia, si può navigare in ncatlab e raggiungere la definizione di Sito, qui , che è una categoria insieme a una Copertura, qualcosa definito qui. La mia comprensione è che la copertura è la definizione più generale in questo contesto e che si ottengono (pre) topologie di Grothendieck imponendo condizioni aggiuntive su una copertura (non sono sicuro di dove si inserisca esattamente GTS in tutto questo, ma credo che i siti lo siano davvero una generalizzazione di GTS).
La vera domanda che pongo qui si suddivide in più parti:
- Ho ragione su cosa sia un sito? Cioè, se "decategorizziamo" la definizione di sito (e anche la copertura, ovviamente), finiamo con qualcosa come la definizione di GTS, tranne che con meno condizioni?
- Se è così, fa il triplo$(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$formare un sito? Cioè, è$Cov_{RE}$davvero una copertura per$\mathbb{N}$? Ad esempio, è "stabile sotto pullback" (qualunque cosa significhi!)?
- Se anche questo è vero, quali "condizioni di saturazione" aggiuntive (vedi qui ) lo fanno$Cov_{RE}$soddisfare? Immagino che non sia abbastanza per essere una corretta topologia di Grothendieck, ma forse abbastanza per una pretopologia?
[1] - Si compie un leggero abuso di linguaggio quando si dice che "$C$è ricorsivamente enumerabile" (ci si aspetterebbe$C\in RE$solo da questa frase, ma in realtà$C\in 2^{RE}$in questo caso specifico); per quelli a disagio con esso, un modo equivalente per definire$Cov_{RE}$è come segue. Innanzitutto, aggiusta$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$, un'enumerazione calcolabile di RE stesso. Quindi$Cov_{RE}$è$\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$, cioè una raccolta$C$di elementi RE appartiene a$Cov_{RE}$se esiste$S\in RE$tale da poter mappare$\phi$Sopra$S$e ottenere$C$come risultato.
[2] - Si noti che l '"assioma della saturazione" qui è specifico per GTS, le definizioni relative alla teoria delle categorie più avanti nella domanda hanno le proprie, multiple, condizioni di saturazione.
Risposte
Supponiamo di avere a che fare con un insieme arbitrario parzialmente ordinato$(P, \leq)$. Nel caso particolare degli spazi topologici,$P$è una raccolta di sottoinsiemi di$X$, lo spazio sottostante. Possiamo considerare$P$come categoria in modo canonico come segue: l'insieme degli oggetti è$P$, c'è al massimo una freccia tra ciascuno$x, y \in P$, e c'è una freccia in mezzo$x$e$y$se$x \leq y$.
Un setaccio su un oggetto$x$può essere definito come una raccolta$S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$che soddisfa la proprietà che per ogni$(f, z) \in S$e ogni$g : w \to z$, noi abbiamo$(f \circ g, w) \in S$.
Quando parliamo di un insieme parzialmente ordinato, il primo componente di$(f, z)$dove$f : z \to x$non aggiunge alcuna informazione (a parte il fatto che$z \leq x$) poiché ce n'è al massimo uno$f : z \to x$. Quindi, possiamo considerare in modo equivalente un setaccio$S$Su$x$essere una collezione$S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$st per tutti$z \in S$, per tutti$w \leq z$,$w \in S$. Questo è ciò che chiamerò un setaccio PO.
Dato un setaccio$S$Su$y$e una freccia$f : x \to y$, possiamo definire il$f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$e$f \circ g \in S\}$, un setaccio su$y$.
Corrispondentemente, dato un PO-setaccio$S$Su$y$e alcuni$x \leq y$, possiamo definire$S_x = \{z : z \leq x$e$z \in S\}$, un setaccio su$x$.
Una topologia di Grothendieck su una categoria$C$è una mappatura da ciascun oggetto$x \in C$ad una famiglia$F_x$di setacci accesi$x$che soddisfa diversi assiomi.
Corrispondentemente, una Topologia PO-Grothendieck su un poset$P$deve essere una mappatura di ciascun elemento$x \in P$ad una famiglia$F_x$di PO-setacci che soddisfano gli assiomi corrispondenti.
Assioma 1 della topologia di Grothendieck: per ogni$x \in C$, noi abbiamo$\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$.
Assioma corrispondente 1 della Topologia PO-Grothendieck: per ogni$x \in P$, noi abbiamo$\{z : z \leq x\} \in F_x$.
Assioma 2 della topologia di Grothendieck: per ogni$f : x \to y$, per ogni setaccio$S \in F_y$, noi abbiamo$f^*(S) \in F_x$.
Corrispondente Assioma 2 della Topologia PO-Grothendieck: per ogni$x \leq y$e per ogni setaccio PO$S \in F_y$, noi abbiamo$S_x \in F_x$.
Assioma 3 della Topologia di Grothendieck: supponiamo di avere$S \in F_x$. E supponiamo di avere un setaccio$P$Su$x$tale che per tutti$(f, z) \in S$,$f^*(P) \in F_z$. Quindi$P \in F_x$.
Corrispondente Assioma 3 della Topologia PO-Grothendieck: supponiamo di avere$S \in F_x$. E supponiamo di avere un setaccio PO$P$Su$x$st per tutti$z \in S$,$P_z \in F_z$. Quindi$P \in F_x$.
In che modo questo si collega agli spazi topologici generalizzati? Supponiamo dato uno spazio così generalizzato. L'insieme parzialmente ordinato$P$è l'insieme delle aperture ordinate da$\subseteq$. Supponiamo data qualche raccolta$C$di insiemi aperti. Definire$f(C) = \{U $aprire$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$. Nota che per ogni tale$C$,$f(C)$è un PO-setaccio. Poi dato$U$aperto, potremmo definire$F_U = \{f(C) : C \in cov_X$e$\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$.
Verifichiamo che questo ci dia una topologia PO-Grothendieck.
Assioma 1: questo deriva dal fatto che$\{U\} \in cov_X$per tutti$U$- cioè, segue dall'assioma A3.
Assioma 2: segue dall'assioma A5.
Assioma 3: segue dall'assioma A6.
Infine, passiamo al tuo esempio di$\mathbb{N}$con "apre" insiemi ricorsivamente enumerabili e "copre" enumerazioni ricorsive di insiemi ricorsivamente enumerabili. Poiché ciò soddisfa gli assiomi A3, A5 e A6, forma una topologia PO-Grothendieck.