Gli omomorfismi preservano l'ordine dei sottogruppi?

Question

Ho letto che l'unico omomorfismo possibile da$\mathbb{Z}_7$a$\mathbb{Z}_{12}$è quello che mappa tutti gli elementi di$\mathbb{Z}_7$a$\{0\}$. Dal momento che se c'è un altro omomorfismo da$\mathbb{Z}_7$a$\mathbb{Z}_{12}$, deve essere in grado di mappare qualsiasi sottogruppo non banale di$\mathbb{Z}_7$, ad un sottogruppo di$\mathbb{Z}_{12}$. Tuttavia, questo significa che$\mathbb{Z}_{12}$avrebbe un sottogruppo di ordine$7$, il che è impossibile.

Immagino che ciò che è implicito nell'affermazione di cui sopra sia che gli omomorfismi preservano l'ordine dei sottogruppi ... ma è vero in generale?

Answer 1

Non è vero in generale. Permettere$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$dato da$f(x)=2x$. La mappa$f$è chiaramente un omomorfismo ma non preserva l'ordine del gruppo stesso.

Penso che questa affermazione significhi, poiché solo sottogruppi di$\mathbb Z_7$sono$\{0\}$e il gruppo stesso, nocciolo di ogni omomorfismo non banale$\{0\}$e quindi ogni omomorfismo non banale è iniettivo. Questo significa$\mathbb Z_7$è isomorfo all'immagine di se stesso ma ciò non può accadere poiché l'immagine di un omomorfismo è un sottogruppo di$\mathbb Z_{12}$e questo gruppo non ha un sottogruppo di ordine$7$.