Gruppi Fuchsiani di genere positivo

Aug 16 2020

Permettere $G$ essere un reticolo in $SL(2,\mathbb{R})$. È sempre vero che esiste un sottogruppo di indici finiti$F$ di $G$ tale che il quoziente superficie $\mathbb{H}/F$ha genere positivo? L'affermazione è vera sotto una serie di ipotesi abbastanza generali? Per favore puoi aggiungere un riferimento?

Risposte

3 MoisheKohan Aug 17 2020 at 00:28

Sì, questo è vero, ma dimostrarlo è più facile che trovare un riferimento.

  1. Ogni gruppo di matrici finitamente generato (ad esempio un reticolo in $PSL(2, {\mathbb R})$contiene un sottogruppo privo di torsione. Il risultato generale è dovuto a Selberg, ma per sottogruppi discreti di$PSL(2, {\mathbb R})$ era sicuramente noto prima.

  2. In considerazione di 1, è sufficiente dimostrare che ogni superficie $S$ omeomorfo alla sfera bidimensionale con $n\ge 3$ le forature ammettono una copertura finita $S'\to S$ tale che $S'$ha genere positivo. Supponiamo prima che$n$è strano. Circonda le forature$p_i$ da piccoli anelli $c_i$. Li considererò come elementi di$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Consideriamo ora l'omomorfismo$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ dove la prima freccia è Hurewicz e la seconda manda $[c_1], [c_2]$ per $1$ e il resto di $[c_i]$è a $0$. Prendi la copertura 2 volte$S_1\to S$ corrispondente al kernel di $\alpha$. Poi$S_1$ è $2+ 2(n-2)$volte sfera forata. Quindi, il problema si riduce al caso di sfere con numero pari di forature.

  3. Permettere $S$ essere $S^2$ con $n=2k\ge 4$forature. Analogamente a (2), definire l'omomorfismo$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
    dove la seconda freccia manda tutto $[c]_i$è l'elemento diverso da zero di ${\mathbb Z}_2$. Permettere$S'\to S$ denotare la doppia copertura corrispondente al kernel di $\beta$. Poi$S'$ avrà $2k$ forature e genere $k-1>0$. (Questo è un esercizio di topologia delle superfici. La naturale estensione di$S'\to S$a una copertura ramificata di superfici compatte è chiamata mappa di copertura iperellittica .)

Modificare. 1. Se vuoi un riferimento, un risultato ottimale è in

Edmonds, Allan L .; Ewing, John H .; Kulkarni, Ravi S. , Torsion free subgroups of Fuchsian groups and tassellations of surface, Invent. Matematica. 69, 331-346 (1982). ZBL0498.20033 .

Si può affermare come: Supponi che $F_1, F_2$ sono reticoli in $G=PSL(2, {\mathbb R})$. Poi$F_2$ incorpora in $F_1$ (come gruppo astratto) con index $k$se e solo se la condizione di Riemann-Hurwitz è soddisfatta:$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Una volta svelate le definizioni, implica la risposta positiva alla domanda positiva sul genere.

  1. Per applicare il loro risultato, è necessario sapere (e lo danno per scontato) che ogni reticolo in $G$ ha la presentazione $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Questa presentazione si può trovare negli articoli di Poincaré sulle funzioni fuchsiane. Se avesse effettivamente una prova è difficile da dire (questo vale praticamente per tutto ciò che è stato scritto da Poincaré che ho cercato di leggere, ma altri potrebbero non essere d'accordo), ma aveva uno strumento per provare il risultato, vale a dire i domini fondamentali convessi. È probabile che una prova più solida si trovi negli articoli di Dehn (non ho provato). Il primo riferimento solido che conosco per l'esistenza di un insieme finito di generatori per reticoli$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ è

Siegel, Carl Ludwig , Alcune osservazioni sui gruppi discontinui , Ann. Matematica. (2) 46, 708-718 (1945). ZBL0061.04505 .

Non sorprende che Siegel utilizzi poligoni fondamentali per dimostrare il risultato: dimostra l'esistenza di un poligono fondamentale con lati finiti e, di conseguenza, ha concluso un limite superiore esplicito sul numero di generatori in termini di area del quoziente ${\mathbb H}^2/\Gamma$. Questo teorema di finitezza ha una generalità molto maggiore, per i reticoli in gruppi di Lie collegati, ma questa è un'altra storia (che ha anche una storia complicata al punto che non è chiaro a chi attribuire questo risultato, chiaramente fondamentale). Una cosa di cui non sono sicuro è:

Sebbene sia nota l'esistenza di gruppi elettrogeni finiti per reticoli in gruppi di Lie connessi, non conosco un riferimento solido a un limite superiore esplicito sul numero di generatori in termini di volume del quoziente (nel caso senza torsione) .

  1. Per quanto riguarda la "congettura di Fenchel" in cui ogni reticolo $G=PSL(2, {\mathbb R})$contiene un sottogruppo senza torsione di indice finito: la storia è piuttosto bizzarra. Quando la congettura è stata formulata per la prima volta è difficile / impossibile da dire. È menzionato nel documento di Nielsen

J. Nielsen, Kommutatorgruppen per det frie produkt af cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), pagg. 49-56.

L'articolo di Nielsen, sorprendentemente, non contiene alcun riferimento.

Tuttavia, al momento della comparsa del documento di Nielsen, la congettura di Fenchel era già stata dimostrata. La prova è contenuta principalmente in:

Mal'tsev, AI , Sulla rappresentazione fedele di infiniti gruppi per matrici , Am. Matematica. Soc., Trad., II. Ser. 45, 1-18 (1965); traduzione da Mat. Sb., N. Ser. 8 (50), 405-422 (1940). ZBL0158.02905 .

Ora, ogni reticolo $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ è finitamente generato e contiene solo finitamente molti $\Gamma$-classi di coniugazione di elementi di ordine finito. (Questo, per lo meno, deriva dal teorema di Siegel sui poligoni fondamentali che, come ho detto, probabilmente era noto a Poincaré.) Il teorema di Mal'tsev implica che se$\Gamma$ è un gruppo di matrici finitamente generato, quindi per ogni raccolta finita di non banali $\Gamma$-classi di coniugazione $C_1,...,C_k$, esiste un sottogruppo di indici finiti $\Gamma'< \Gamma$ disgiunto da $C_1,...,C_k$. Combinando i due risultati, ogni reticolo in$G=PSL(2, {\mathbb R})$ contiene un sottogruppo senza torsione di indice finito.

Una soluzione completa della congettura di Fenchel è stata rivendicata da Fox in

Fox, Ralph H. , Sulla congettura di Fenchel sui gruppi (F), Mat. Tidsskr. B 1952, 61-65 (1952). ZBL0049.15404 .

che era chiaramente ignaro del documento di Mal'tsev. La soluzione di Fox si è rivelata parzialmente errata, con un errore (in uno dei casi) corretto in:

Chau, TC , una nota riguardante l'articolo di Fox sulla congettura di Fenchel , Proc. Am. Matematica. Soc. 88, 584-586 (1983). ZBL0497.20035 .

A quel punto (23 anni prima), Selberg ha dimostrato un risultato ancora più generale in:

Selberg, Atle , Sui gruppi discontinui in spazi simmetrici di dimensioni superiori, Contrib. Teoria delle funzioni, int. Colloqu. Bombay, gennaio 1960, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .

Selberg ha dimostrato che ogni gruppo di matrici finitamente generato contiene un sottogruppo senza torsione di indice finito. Anche Selberg non era a conoscenza del documento di Mal'tsev, ma almeno non stava rimontando qualcosa che era già lì. Il fatto è che un gruppo di matrici finitamente generato$\Gamma$ può avere infinitamente molti $\Gamma$-classi di coniugazione di sottogruppi finiti, quindi, non si può semplicemente applicare il risultato di Mal'tsev.

1 SamNead Aug 17 2020 at 14:52

Un'osservazione sul passaggio (1) nella dimostrazione di Moishe Kohan. Questo problema (di trovare un indice finito, sottogruppo privo di torsione di un reticolo in$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) è stato chiamato "Congettura di Fenchel". È stato risolto da Ralph H. Fox. Vedi il suo articolo:

Sulla congettura di Fenchel sui gruppi F.

e lavori successivi (per altre prove e per correzioni a lavori precedenti).