gruppo semidiretto e gruppo metaciclico

Question

Permettere $G$ e $H$ essere gruppi e $\theta : H \to Aut G$un omomorfismo. Definire$G\times_{\theta}H$ è chiamato il prodotto semidiretto di $G$ e $H$.

Permettere $C_{p}=\langle a\rangle$ e $C_{q}=\langle b\rangle$ essere gruppi ciclici (moltiplicativi) di ordini primi $p$ e $q$ rispettivamente tale che $p > q$ e $q\mid p — 1$.

un. La mappa$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ dato da $a^{i}\mapsto a^{si}$ è un automorfismo.

b. La mappa$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ dato da $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ ($\alpha$ come nella parte (a)) è un omomorfismo ($\alpha^{i} = I_{C_{p}})$.

c. Se scriviamo$a$ per $(a,e)$ e $b$ per $(e,b)$, poi il gruppo $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ è un gruppo di ordine $pq$, generato da $a$ e $b$ soggetto alle relazioni: $|a|=p$, $|b| = q$, $ba = a^{s}b$, dove $s\not\equiv 1 (\mod p)$, e $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$. Il gruppo$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ è chiamato il gruppo metaciclico.

Ho provato a risolverlo, la a , da allora$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$p$ is prime}\rbrace$, quindi per alcuni $s\in \mathbb{Z}$, $(s,p)=1$,in questo caso $\alpha^{s}$ è anche un generatore di $C_{p}$, Ora per alcuni $m\in \mathbb{Z}$ imples $s^{m}\equiv1(\mod p)$, la mappa $\alpha:C_{p}\to C_{p}$definito un automorfismo. Calcolato$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$.

Per b , ho provato a usare il teorema \ textit {Dyck}, ma non ne sono sicuro

Vorrei sapere come risolverlo o eventuali suggerimenti, apprezzo

Answer 1

Permettere $q | p-1$ e $C_p = \langle a \rangle$ e $C_q = \langle b \rangle$.

Per il prodotto semidiretto $C_p \rtimes_\theta C_q$ avremo bisogno di definire un omomorfismo di gruppo $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$.

Avremo un gruppo d'ordine $pq$ e $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$

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Primo $\operatorname{Aut}(C_p)$

$\alpha : C_p \to C_p$

$\alpha(a^i) = a^{si}$

sarà un automorfismo, cioè un isomorfismo di gruppo da $C_p$ per $C_p$, che è un omomorfismo di gruppo che è anche una biiezione.

Possiamo dimostrare che è un omomorfismo di gruppo:

• $\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
• $\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$

e questi sono uguali così è.

E sarebbe una biiezione se moltiplicato per $s$ è invertibile mod $p$.

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$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$

$\theta(b^i) = \alpha^i$

Mostreremo che questo è un omomorfismo di gruppo:

• $\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ applicare a $a^k$: $a^{s^{i+j} k}$.
• $\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ applicare a $a^k$: $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$

e questi sono uguali quindi questo è un omomorfismo di gruppo valido.

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Dettagli su $s$:

A partire dal $\alpha$ essendo invertibili lo richiediamo $s$ è un'unità mod $p$.

A partire dal $\theta$ essendo un omomorfismo di gruppo da $C_q$ (es $\theta(b^q) = \theta(1)$) lo richiediamo $\alpha^q = 1$. Quindi abbiamo bisogno$s^q \equiv 1 \pmod p$.

Ora avremo sempre $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ quindi possiamo prendere una radice primitiva $r$ e nota $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ quindi troviamo un file $s$ sollevando $r$ al potere $(p-1)/q$.

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In generale il prodotto semidiretto ha l'operazione di moltiplicazione come segue ($b$ è un elemento generale, non il generatore di $C_q$ solo per la riga successiva):

$$(b,g)(c,h) = (b \theta(g)(c), gh)$$

Quindi nel nostro caso

$$ba = (1,b)(a,1) = (\theta(b)(a),b) = (\alpha(a),b) = (a^{s}, b) = a^{s} b$$