I numeri 49/1; 49/2… 49/97 sono scritti alla lavagna.

Question

I numeri $\frac{49}{1},\frac{49}{2},...,\frac{49}{97}$sono scritti alla lavagna. Ogni volta che facciamo una mossa cancelliamo due numeri dal tabellone ($a$ e $b$) e invece scriviamo: $$2\cdot ab-a-b+1$$ Dopo $96$ si muove c'è solo un numero rimasto, che cos'è?

Ho lottato con questo per un po 'di tempo. Ho pensato che forse fosse utile contare la somma o la somma dei numeri inversi. Oppure potrebbe essere fatto con l'induzione, ma non ho trovato nulla. Grazie in anticipo 🙂 Inoltre non so davvero come contrassegnarlo, quindi per favore aiutatemi

Answer 1

$a*b=2ab-a-b+1=\frac{1}{2}((2a-1)(2b-1)+1)$ cioè $2(a*b)-1=(2a-1)(2b-1)$. Quindi, usa l'induzione per dimostrarlo$2(a_1*a_2*\ldots*a_n)-1=(2a_1-1)(2a_2-1)\cdots(2a_n-1)$ ed è per questo che non dipende nemmeno dall'ordine dei termini in $a_1*a_2*\ldots*a_n$ Infine, il risultato è:

$$a_1*a_2*\ldots*a_n=\frac{1}{2}((2a_1-1)(2a_2-1)\cdots(2a_n-1)+1)$$

Nel nostro caso, vogliamo calcolare $\frac{1}{2}(\frac{97}{1}\frac{96}{2}\cdots\frac{1}{97}+1)=\frac{1}{2}(\frac{97!}{97!}+1)=1$