Incorporamento di$\sqrt{|i-j|}$distanza in$(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Aug 16 2020

Considera lo spazio metrico$(X=\{1,\ldots,n\},d)$tale che:

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

Può$(X,d)$essere incorporato isometricamente$(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? Se è così, possiamo trovare qualche isometria naturale$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?


Per aggiungere un po 'di contesto, considero la passeggiata casuale:

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

dove il$X_i$sono gaussiane standard indipendenti.$S=(S_1,\ldots,S_n)$è normalmente distribuito (perché lo sono anche le sue proiezioni lungo ogni direzione), quindi dovrebbe esistere$a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$tale che:

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

dove$g$è un$n$gaussiana standard bidimensionale. Ma si scopre:$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

che implica l'esistenza dell'incorporamento. Mi chiedevo se esiste una prova esplicita di ciò (sicuramente, ci deve essere!).

Risposte

3 BenGrossmann Aug 15 2020 at 23:16

Ecco un tale incorporamento: define$$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$