Indipendenza dei componenti del vettore 2d con supporto diviso.
Permettere $Z:=(X,Y)$ essere un assolutamente continuo $\mathbb{R}^2$-valutato variabile casuale con densità $\zeta\in C(\mathbb{R}^2)$.
Supponiamo che il supporto $C:=\mathrm{supp}\,\zeta \stackrel{\mathrm{def}}{=}\overline{\{\zeta>0\}}^{|\cdot|_2}$ può essere partizionato in due componenti collegati su ciascuno dei quali la densità $\zeta$ fattorizza, cioè supponiamo che
$$C=C_1\sqcup C_2, \ \ C_1, C_2 \text{ connected,}\quad \text{such that}\quad \left.\zeta\right|_{C_i}\!\equiv \left.\zeta\right|_{C_i}\!(x,y) = \alpha_i(x)\cdot\beta_i(y) \quad(i=1,2)$$ per alcune funzioni $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$.
Possiamo dedurre che i componenti $X$ e $Y$ (di $Z$) sono indipendenti?
Risposte
Non possono essere indipendenti se non in casi molto speciali. Se sono indipendenti allora$\zeta (x,y)$ ha la forma $f(x)g(y)$. In$C_1$ noi abbiamo $f(x)g(y)=\alpha_1(x)\beta_1(y)$ quali forze $f(x)$ essere multiplo di $\alpha_1(x)$ae su tutta la linea reale. Allo stesso modo,$f(x)$ è tempi costanti $\alpha_2(x)$su tutta la linea. Questo forza$\alpha_1$ essere un multiplo di $\alpha_2$. Allo stesso modo,$\beta_1$ deve essere un multiplo di $\beta_2$.