Integrazione della coppia per un anello di corrente circolare in campo magnetico [chiuso]

Question

Sto cercando di derivare la formula per la coppia su un anello di corrente circolare all'interno di un campo magnetico. So che la formula è:

$\tau = IAB\sin{\theta}$

Dove I è la corrente, B è il campo magnetico e A è l'Area.

Il mio tentativo finora:

$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$

Ora, se la formula per la coppia è: $\tau=bF\sin{\theta}$, e $b = r\sin{\alpha}$, poi

$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$

In definitiva, se prendo l'integrale di quest'ultima equazione, non riesco a capire esattamente come integrarlo $\sin{\alpha}^2\,ds$.

Immagino che il mio malinteso di fondo si trovi qui: posso dire di cosa sia l'integrale $d\vec{s}\times \vec{B}$sarà, poiché conosco il diametro del cerchio. Tuttavia, penso che non ci sia modo di esprimere$\sin{\alpha}$ riguardo a $ds$.

Mi sto sbagliando? Grazie

Answer 1

Non hai usato notazioni vettoriali quindi sembra essere piuttosto terribile. Inoltre, hai usato$M$ per coppia (dovrebbe essere $\tau$) piuttosto che per momento magnetico (che sono simboli generalmente accettati).

Prova:

Si trova un anello circolare $x-y$ aereo con raduis $r$ e centro all'origine $O$. Sta trasportando una corrente costante in senso antiorario. C'è un campo magnetico uniforme$\vec B$ diretto lungo positivo $x$-asse.

Considera un elemento $d\vec s$ sul ring in un angolo $\theta$ sottendere un angolo $d\theta$all'origine. La coppia su questo elemento è data da

$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$

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Nota: ho saltato la parte del calcolo. Inoltre, puoi anche prendere$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, Ho preso solo $x$-componente per semplicità. Il risultato sarà lo stesso. Lo stesso vale per la forma del conduttore, non importa se quadrato o cerchio.

Answer 2

Ho risolto questo problema rendendomi conto che ds è effettivamente $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ dalla formula della lunghezza dell'accordo.

Insomma, scrivendo davvero $d\vec{s}\times \vec{B}$ in termini di $\alpha$.