Intuitivamente, qual è la sovrapposizione / differenza generale tra trasformazioni conformi e ortogonali, o i termini in generale?

Question

Ho avuto difficoltà a trovare una definizione chiara delle differenze tra i due in termini pratici / geometrici. Le trasformazioni ortogonali sono quelle che le superfici o traiettorie coordinate incontrano ad angolo retto, e le trasformazioni conformi sono quelle che preservano gli angoli.

Riesco a vedere come le nozioni si sovrappongono e ho una vaga intuizione su come siano diverse, ma ho difficoltà a chiarire la loro esatta distinzione, in particolare nel contesto del calcolo differenziale / vettoriale rispetto a concetti come lo Jacobiano e le sue proprietà di conservazione dell'area , equazioni differenziali per traiettorie ortogonali, trasformate integrali, ecc.

O in termini più diretti, quando qualcosa è ortogonale ma non conforme, e viceversa, e quando sono entrambi?

Answer 1

Una mappa lineare conforme è la composizione di una omotetia (tratto) e una mappa lineare ortogonale.

Answer 2

La parte più importante dell'intuizione è questa: le trasformazioni ortogonali speciali sono rotazioni. Le trasformazioni ortogonali sono rotazioni più riflessioni. Le trasformazioni conformi sono rotazioni più dilatazioni. Le trasformazioni conformi e anticonformali sono rotazioni più dilatazioni più riflessioni.

Matematicamente parlando, questo significa: le trasformazioni ortogonali preservano il prodotto scalare. Trasformazioni ortogonali speciali preservano anche l'orientamento (determinante positivo). Le trasformazioni conformi e anticonformali preservano gli angoli. Anche le trasformazioni conformi preservano l'orientamento (determinante positivo). Più precisamente, trasformazioni ortogonali$T$ soddisfare

$$\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle,$$

mentre le trasformazioni ortogonali speciali soddisfano ulteriormente

$$\det T>0.$$

Si può anche dimostrare che le trasformazioni ortogonali soddisfano già $\det T=\pm1$, fabbricazione $\det T=1$per trasformazioni ortogonali speciali. Trasformazioni conformi e anticonformali$S$ soddisfare

$$\frac{\langle Sv,Sw\rangle}{\Vert Sv\Vert\Vert Sw\Vert}=\frac{\langle v,w\rangle}{\Vert v\Vert\Vert w\Vert},$$

(per $v,w\neq0$) mentre le mappe conformi soddisfano ulteriormente $\det S>0$. Si può dimostrare che questo rende le trasformazioni (anti) conformi uguali a mappe ortogonali moltiplicate per una costante diversa da zero. Le trasformazioni (anti) conformi sono quindi trasformazioni ortogonali con una dilatazione aggiuntiva. Se chiamiamo i vari gruppi che contengono queste trasformazioni$\operatorname{O},\operatorname{SO}$ (ortogonale e ortogonale speciale), $\operatorname{CO}$ (conforme più anticonformale) e $\operatorname{CSO}$ (solo conforme), quindi abbiamo le seguenti relazioni:

$$ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{O}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{CSO}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{CO}=I\cdot\operatorname{O}\\ \operatorname{CSO}=I\cdot\operatorname{SO},$$

dove $I$ è il gruppo delle dilatazioni.