L'operatore limitato autoaggiunto con spettro finito implica diagonalizzabile?

Question

Permettere $T$ essere un operatore limitato autoaggiunto su uno spazio di Hilbert di dimensione non necessariamente finita.

Supponiamo $T$ha uno spettro finito. Ne consegue che gli elementi dello spettro sono autovalori e l'operatore è diagonale?

Answer 1

Sì, puoi calcolare la proiezione spettrale per ogni autovalore $\lambda$ integrando il risolvente in un piccolo contorno intorno $\lambda$ che evita tutti gli altri autovalori $$P_\lambda = \frac{1}{2\pi i} \int_C (T-z I)^{-1} \, dz.$$Lo spazio di Hilbert sarà quindi la somma diretta dei sottospazi spettrali corrispondenti alle proiezioni spettrali. Gli elementi isolati dello spettro sono sempre autovalori.

Answer 2

Poiché anche questo è etichettato "C$^*$-algebre ", risponderò in tale impostazione. Se $\sigma(T)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$, possiamo costruire funzioni continue (polinomi, anche) $f_1,\ldots,f_n$ con $f_k(\lambda_j)=\delta_{kj}$. Poi$\sum_k\lambda_kf_k(t)=t$, e il calcolo funzionale ci dà $$ T=\sum_k\lambda_kf_k(T), $$ dove $f_1(T),\ldots,f_n(T)$ sono proiezioni ortogonali a coppie.