La debole convergenza delle misure non atomiche a un limite non atomico preserva la continuità assoluta?

Question

Permettere $\mu_n$, $\mu$ e $\nu$ essere misure Borel non atomiche su uno spazio topologico comune di Hausdorff, in modo tale che il $\mu_n$ sono assolutamente continui rispetto a $\nu$. Fa debole convergenza$\mu_n \to \mu$ (nel senso della teoria della probabilità, cioè definita in termini di funzioni continue limitate) lo implicano $\mu$ è assolutamente continuo rispetto a $\nu$?

Senza escludere gli atomi la risposta è no, vedi ad esempio qui .

Se la risposta è ancora no nella situazione non atomica di cui sopra, farebbe differenza presumere che tutte le misure siano Borel o Radon regolari?

Answer 1

Supponi che il tuo spazio lo sia $\mathbb{R}^2$, permettere $\mu$ sia la distribuzione uniforme sul cerchio e lascia $\nu$essere la misura di Lesbegue. Permettere$\mu_n$ essere la distribuzione uniforme sull'annulus $B[0,1]\setminus B[0,1-1/n]$. Poi$\mu_n$ è assolutamente continuo rispetto a $\nu$, ma $\mu_n\to \mu$debolmente. Come$\mu$ è supportato su un set nullo, $\mu$ non è assolutamente continuo rispetto alla misura di Lesbegue.

Notare che tutte queste misure sono Radon.