La direzione della forza centripeta in un movimento circolare verticale sotto gravità uniforme

Aug 17 2020

Considera il movimento circolare verticale di una massa puntiforme collegata al centro da una corda rigida. Qui la gravità uniforme$m\vec{g}$ atti.

Ho illustrato la situazione nel diagramma sottostante.

Qui se facciamo un'aggiunta vettoriale di $\vec{T}$ e $m\vec{g}$quindi otteniamo la forza centripeta di una strana direzione. Dovrebbe dirigersi verso il centro, no?

Decomporrò ulteriormente la gravità nelle componenti radiali e tangenziali. Vedi sotto.

Quindi cosa succede a questo $mg \sin \theta$componente? Non disturba il movimento dall'essere circolare?

  • Nota: se provo a rendere la forza netta diretta verso il centro devo cambiare deliberatamente la direzione della tensione, e questo mi sembra molto strano poiché stiamo considerando un oggetto confinato da una corda. Quindi se lo manteniamo "naturale" (tensione verso il centro) possiamo davvero dire che l'oggetto subisce un movimento circolare?
  • Un'altra domanda: capisco che in questa situazione, come $mg \cos \theta$cambia la grandezza della forza radiale deve cambiare, e quindi la velocità dell'oggetto deve cambiare. Lo stiamo pensando come un movimento circolare locale in cui per la velocità$\vec{v}(t_1)$ in un certo momento $t=t_1$, la forza centripeta $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ è valido solo per l'intervallo di tempo infinitamente piccolo $[t, t + dt]$?
  • Riassumendo le due domande appena sopra, possiamo considerare quando l'oggetto è in alto o in basso. Quindi non dobbiamo pensare alle componenti delle forze poiché si trovano tutte sulla stessa linea verticale. Possiamo quindi sostenere che è localmente un movimento circolare per un breve intervallo di tempo$[t, t + dt]$?

Risposte

1 BioPhysicist Aug 17 2020 at 13:00

Nel movimento circolare non è sempre così $F_\text{net}=mv^2/r$. Questo è valido solo per un movimento circolare uniforme. In generale$mv^2/r$è uguale alla componente della forza netta che punta verso il centro del cerchio. C'è un altro componente da considerare: il componente tangente al percorso circolare.

Per il moto planare in coordinate polari suddividiamo la forza netta in due componenti: centripeta (o radiale) e tangenziale:

$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$

Dove $r$ è la distanza dall'origine, $\theta$è l'angolo polare e un punto rappresenta una velocità di variazione nel tempo. Per il movimento circolare,$r$ è costante, quindi per il moto circolare la seconda legge di Newton si riduce a

$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$

Quindi per il tuo oggetto che si muove nel cerchio verticale centrato all'origine in un campo gravitazionale costante, possiamo guardare le due componenti (nota che il negativo è verso l'origine) $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$

$F_r$cambia solo la direzione della velocità, poiché questa componente di forza è sempre perpendicolare alla velocità, e$F_\theta$cambia solo l' ampiezza della velocità, poiché questa componente di forza è sempre parallela / antiparallela alla velocità.

L'entità della forza netta è quindi data da $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$

Che si riduce a $mv^2/r$ per un movimento circolare uniforme ($\ddot\theta=0$, e $\dot\theta=v/r=\text{constant}$).

Quanto sopra dovrebbe alleviare le tue preoccupazioni sul fatto che stiamo prendendo in considerazione solo il movimento circolare locale. Questo è solo movimento circolare. Non c'è bisogno di portare complicazioni inutili.

2 Phy_Amatuer Aug 17 2020 at 12:53

$mg\sin\theta$non contribuisce alla forza centripeta, è l'accelerazione tangenziale che viene fornita alla massa m. Provoca la diminuzione della velocità della massa durante la salita e l'aumento durante la discesa. Questo non è un caso di movimento circolare uniforme. A causa di questa complicazione generalmente utilizziamo il teorema dell'energia di lavoro per risolvere le domande relative a questo sottoargomento. Anche la forza centripeta non è la somma vettoriale della forza gravitazionale e della tensione, è la somma delle forze che sono dirette verso il centro del cerchio. Quindi la forza centripeta è uguale alla tensione +$mg\sin\theta$ che è $mv^2/R$.