La prova del calcolo tensoriale del punto di Torricelli?
In questa lezione video sul calcolo tensoriale, intorno alle 2:36 prende il gradiente di una "funzione di lunghezza" geometrica che aumenta verso l'esterno in direzione della lunghezza. Ma non capisco la direzione in cui dovrebbe essere il gradiente? punti diversi hanno gradienti diversi? E qual è esattamente il tecnicismo per definire una funzione da tre punti?
Ho pensato di costruire cercando di descrivere quello che ha fatto usando le coordinate come segue:
Prendi tre punti $ A_1,A_2,A_3$
Ora, da questi tre punti fissi prendiamo un punto nel triangolo $ (x,y)$
Permettere $d(A_i(x,y))$ essere la distanza del nostro punto dal vertice A Il nostro obiettivo è ridurre al minimo:
$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$
Presumibilmente prendiamo il gradiente di entrambi i lati e impostiamo la sinistra a zero, otteniamo,
$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$
o,
$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$
E il punto in cui i tre vettori unitari di $ d(A_i (x,y))$andare a zero è il nostro punto di Torricelli, ma non capisco bene come definisca le funzioni in base alle distanze dal vertice. Quali sono esattamente gli aspetti tecnici di questo?
Inoltre, non riesco a trovare una prova simile online, non è una prova ben documentata?
Modifica: su qualche riflessione in più, potrei usare un metodo simile per trovare il "punto Torricelli" di forme più complicate? sembra che dovrebbe essere facilmente realizzabile con gli stessi principi.
Ad esempio, trovare il "punto toricelli" del pentagono si riduce al problema di trovare un modo per disporre i 5 vettori unitari in modo tale che la loro somma sia zero come mostrato di seguito. Inoltre, come si potrebbe generalmente trovare una disposizione tale da aggiungere a zero?

Risposte
Ci sono molte domande. Proviamo a fare una lista.
- "punti diversi hanno gradienti diversi?"
Si lo fanno. Il gradiente di una funzione è un campo vettoriale, il che significa che il vettore varia da punto a punto.
- "Ma non capisco in che direzione dovrebbe essere il gradiente?"
"Non capisco come definisca le funzioni in base alle distanze dal vertice. Quali sono esattamente i tecnicismi di questo?"
Geometricamente abbiamo 2 proprietà del gradiente:
a) La sfumatura punta nella direzione dell'aumento più rapido della funzione.
Per la funzione "distanza da O" la direzione di aumento più veloce in corrispondenza di una certa P (come per la risposta alla parte 1, varia al variare di P) è la direzione di spostamento lungo il raggio OP, "fuori da O". Di nuovo, questa direzione varia al variare di P.
b) La dimensione del gradiente è il cambiamento nella funzione per passo nella direzione del gradiente (nel limite di passi molto piccoli).
Per "distanza da O" ciò che questo sta dicendo è che dovremmo calcolare di quanto cambia la "distanza da O" man mano che facciamo un passo di dimensione $\Delta$lungo il raggio OP. La risposta è$\Delta$. Il rapporto di aumento della funzione per la dimensione del passo è 1. Quindi il vettore gradiente è di lunghezza 1 (per qualsiasi P).
In alternativa, potresti scrivere $f(P)=|OP|$e prendi il gradiente. Supponiamo che O sia un punto con coordinate (fisse)$(x_0, y_0)$ e $P$ ha coordinate variabili $(x, y)$.
Per calcolare il gradiente di $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ usiamo il fatto che la distanza quadrata è una funzione migliore della distanza (essere $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, quindi polinomio quadratico). Quindi, usiamo la regola della catena,$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; e$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$. Insieme questo dà$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$, ovvero il vettore unitario che indica lungo il raggio OP, lo stesso che abbiamo ottenuto dal ragionamento geometrico sopra.
- "potrei usare un metodo simile per trovare il 'punto Torricelli' di forme più complicate?"
Ebbene, la parte in cui il "punto di Torricelli" è quella in cui i vettori unitari dal punto ai vertici si sommano fino a zero è effettivamente la stessa, e per lo stesso motivo. Il problema è che per 3 vettori l'unico modo in cui ciò può essere vero è che tutti hanno angoli 120 tra una qualsiasi coppia di vettori - così che il punto di Torricelli deve avere questa proprietà di "120 gradi". Per qualsiasi numero maggiore di vettori, ci sono infinite possibili configurazioni di vettori unitari che si sommano fino a zero. Quindi la condizione "la somma dei vettori a zero" è molto meno restrittiva. Deve essere combinato in modo non banale con la condizione che questi vettori puntino da P ai vertici del nostro poligono. Non mi è immediatamente chiaro come si possa farlo.
- "Ad esempio, trovare il 'punto toricelli' del pentagono si riduce al problema di trovare un modo per disporre i 5 vettori unitari in modo tale che la loro somma sia zero come mostrato di seguito. Inoltre, come si potrebbe generalmente trovare una disposizione tale che aggiunge a zero? "
Precisamente. Per 5 vettori puoi facilmente produrre molti di questi arrangiamenti: sommando 2 vettori unitari puoi ottenere un vettore in direzione arbitraria di qualsiasi dimensione tra 0 e 2. Ora prendi qualsiasi triangolo con un lato$\vec{v}$ di dimensione 1 e altri due di dimensioni comprese tra 0 e 2. Crea questi due "altri" lati sommando alcune coppie di vettori unitari e infine aggiungi l'ultimo vettore unitario uguale a $\vec{v}$. La somma complessiva di 5 vettori è quindi la somma dei 3 vettori che compongono il triangolo, cioè$\vec{0}$.
Ora, per una configurazione casuale di questo tipo non troverai un punto P tale che il vettore da esso ai tuoi 5 vertici faccia questa configurazione. Quindi non è chiaro come trovare "punti Torricelli" di pentagoni utilizzando questo tipo di metodo.