La regola della catena vale per i derivati ​​generali?

Aug 15 2020

Per lo spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ abbiamo derivate parziali, che obbediscono alla regola della catena, ad esempio:

permettere $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, presuppone una base standard per $\mathbb{R}^n$ è $x^i$ e base standard per $\mathbb{R}^m$ è $y^j$Quindi per la composizione abbiamo:

$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$

che è la regola della catena standard.

Consideriamo ora la derivata del caso generale come mappa lineare tra algebra $v:A\to B$ con $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.

In questo caso, regola la catena per la composizione $v(f\circ g)$tenere ancora? Non sembra?

(sappiamo per differenziale $dF_p:T_pM\to T_p N$ regola della catena vale ancora)

Risposte

6 AlekosRobotis Aug 16 2020 at 03:56

Nel caso delle varietà lisce, ciò che chiamate regola della catena è una manifestazione della funtoria del funtore che prende una varietà con punto marcato $(M,p)$ al suo spazio tangente $T_pM$ e prendendo una mappa fluida di tali oggetti $f:(M,p)\to (N,q)$ al differenziale associato $df_p:T_pM\to T_qN$. La funtorialità lo dice data una composizione$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ c'è una relazione $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. In un linguaggio meno astruso, questo dice solo che il differenziale della composizione è la composizione dei differenziali. Mettendolo in termini concreti, dato$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ come sopra, sappiamo che i differenziali sono rispettivamente $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ e $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ dove sono le coordinate sul primo spazio $x^1,\ldots, x^n$ e le coordinate sul secondo spazio sono $y^1,\ldots, y^m$ e la prima matrice è $m\times n$, e il secondo è $1\times m$. Il composto del differenziale è la moltiplicazione di queste matrici, che è mentre scrivi$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ dove questo è un file $1\times n$ matrice.

La domanda che stai facendo è diversa. Diciamolo$A$ e $B$ siamo $k-$algebre per alcuni campi $k$. Poi un morfismo$v:A\to B$ che è $k-$lineare e Leibniz (es $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) è un tipo di operatore differenziale. Tuttavia, qui non è chiaro cosa vuoi che significhi la regola della catena. La regola della catena è ciò che si verifica quando applichiamo un operatore differenziale a un composto di funzioni nel nostro contesto di varietà. In questo caso,$f\circ g$ non ha nemmeno senso a priori.

Faccio la seguente proposta: Data una categoria di spazi geometrici $\mathscr{C}$e una "funzione" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, assegnando a ogni spazio $X$ una struttura algebrica $F(X)$, lo diciamo $F$obbedisce a una regola della catena se$F$ è funtoriale nel senso di cui sopra: dato $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ noi abbiamo $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. Questo è certamente un po 'vago, ma illustra ciò che abbiamo "usato" per definire la regola della catena.