La sequenza di epimorfismi di gruppi residualmente finiti si stabilizza
Permettere $G_1 \to G_2 \to \cdots$essere una sequenza di epimorfismi di gruppi finitamente finiti finiti. Alla fine si stabilizza? Cioè, tutti gli epimorfismi tranne un numero limitato sono in realtà isomorfismi?
Si noti che i gruppi finitamente finiti generati in modo finito sono Hopfian, quindi questo esclude il semplice controesempio di ciascuno $G_i$ essendo un gruppo fisso e ogni epimorfismo essendo fisso su se stesso.
Il risultato analogo vale quando i gruppi sono residualmente liberi: questa è la Proposizione 6.8 di Charpentier Guirardel "Limitare i gruppi come limiti di gruppi liberi" . La prova utilizza solo il fatto che i gruppi residualmente liberi sono residualmente$SL_2(\mathbb{C})$, e sembra che possa essere adattato al caso in cui ciascuno $G_i$ è residualmente $GL_n(\mathbb{C})$ per un fisso $n$. Sembra improbabile che ciò valga per i gruppi finiti residaully generali: il Teorema di Jordan-Schur implica che per un gruppo finito generale il grado minimo$n$ in modo che si integri in $GL_n(\mathbb{C})$ può essere arbitrariamente grande.
C'è un altro modo per adattare la dimostrazione? C'è un controesempio?
Risposte
La risposta è no". Il gruppo del lampionaio (che è presentato all'infinito) è un limite di una sequenza di gruppi virtualmente liberi e omomorfismi suriettivi (vedi, ad esempio, questa domanda e le risposte lì ). Tutti i gruppi virtualmente liberi sono residualmente finiti.
Allo stesso modo della risposta di Dodd, un controesempio può anche essere dedotto dal secondo gruppo di Houghton $H_2$, che è definito come il gruppo di biiezioni $L^{(0)} \to L^{(0)}$ che preserva l'adiacenza e la non adiacenza per tutte le coppie di vertici tranne finitamente nella linea bi-infinita $L$. Una presentazione di$H_2$ è $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ dove $t$ corrisponde a una traduzione unitaria e $\sigma_i$ alla permutazione $(i,i+1)$. Ora, tronca la presentazione e definisci$G_n$ attraverso $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ Utilizzando le relazioni $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ per rimuovere i generatori $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ e $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, troviamo la seguente presentazione di $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ Osserva da questa presentazione che $G_n$ si decompone come estensione HNN di $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ che risulta essere isomorfo al gruppo simmetrico $\mathfrak{S}_{n+2}$, dove si coniuga la lettera stabile $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ per $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. Quindi, come estensione HNN di un gruppo finito,$G_n$ deve essere virtualmente gratuito.
La conclusione è che il quoziente canonico mappa $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ definisce una sequenza di epimorfismi tra gruppi virtualmente liberi che non si stabilizza.
Nota: riproducendo l'argomento di cui sopra quasi parola per parola con il gruppo dei lampionaie$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ invece del gruppo di Houghton $H_2$fornisce la stessa conclusione. Il motivo è che questi gruppi hanno una struttura simile: hanno la forma$C \rtimes \mathbb{Z}$ per alcuni gruppi di Coxeter localmente finiti $C$ dove $\mathbb{Z}$ agisce su $C$ tramite un'isometria del grafico che definisce $C$. (In parole povere, tutti gli altri gruppi di questa forma possono essere recuperati da$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ e $H_2$, quindi non ci sono altri esempi interessanti in questa direzione.)