La serie $\sum_{p=1}^{\infty} p^{-\frac{7}{6}}$ in quale dei seguenti intervalli?

Question

La serie $\sum_{p=1}^{\infty} p^{-\frac{7}{6}}$ in quale dei seguenti intervalli?

(un) $[1,2]$

(b) $[6,7]$

(c) $[3,4]$

(d) $[5,6]$

So solo che la serie converge da $p$-test da allora $\frac{7}{6} >1$. Non so come lavorarci ulteriormente. Può per favore qualcuno spiegare?

Answer 1

\begin{align} & \sum_{p=1}^\infty p^{-7/6} = \sum_{p=1}^\infty \int_p^{p+1} p^{-7/6} \,dx \\[8pt] \ge {} & \sum_{p=1}^\infty \int_p^{p+1} x^{-7/6}\,dx = \int_1^\infty x^{-7/6}\,dx = 6. \end{align} E poi nella direzione opposta: \begin{align} & \sum_{p=1}^\infty p^{-7/6} = 1 + \sum_{p=2}^\infty p^{-7/6} = 1 + \sum_{p=2}^\infty \int_p^{p+1} p^{-7/6} \,dx \\[8pt] \le {} & 1+ \sum_{p=2}^\infty \int_p^{p+1} (x-1)^{-7/6} \, dx = 1 + \int_2^\infty (x-1)^{-7/6} \, dx \\[8pt] = {} & 1 + \int_1^\infty x^{-7/6} \, dx =7. \end{align} Quindi la somma è tra $6$ e $7.$