Lascia che il cerchio si tocchi$AB$e$AC$a$F$e$E$. Permettere$C \cap FE=L$e$BI \cap EF= N$. Mostralo$B,L,N,C$è ciclico.

Aug 19 2020

Permettere$ABC$sii un triangolo con I come incentro e lascia che il cerchio si tocchi$AB$e$AC$a$F$e$E$. Permettere$C\cap FE=L$e$BI\cap EF= N$. Mostralo$B,L,N,C$è ciclico.

Ora, non ho avuto progressi significativi, ma ecco le mie osservazioni:

  • $BLNC$è ciclico, giacente sul cerchio di diametro$ BC$
  • $FLIB$e$NIEC$sono anch'essi ciclici.

Penso che questa domanda sia facilmente bashable ma voglio ottenere una prova sintetica.

Grazie in anticipo !

Risposte

2 Anand Aug 19 2020 at 21:29

Reclamo. $\angle BLI=90$

Prova del reclamo. È abbastanza da mostrare$BFLI$è ciclico dove$D=\odot(I)\cap BC$. Per questo, nota che$$\angle LDB=\pi - \angle LDC=\pi - \angle LEC=\angle AEF=\angle AFE$$Così,$BFLI$è ciclico. Questo completa la prova del reclamo.

Allo stesso modo, otteniamo,$\angle BLC=90=\angle BNC$Così$BLNC$è ciclico con$BC$come diametro.

2 AlexeyBurdin Aug 19 2020 at 21:41

Sapendo come provarlo$FLIB$e$NIEC$sono ciclici, sei più che a metà risolto.

Devi dimostrare$\angle LBN=\angle LCN$(poi$BLNC$è ciclico).
Ma$\angle LBI=\angle LFI$da$BFLI$è ciclico,
allo stesso modo$\angle ICN=\angle IEN$da$NIEC$è ciclico.

Quindi devi dimostrare$\angle IFE=\angle IEF$ma è vero da allora$\triangle IEF$è isoscele --$IF=IE$sono innerradii.