Laurent espansione della radice quadrata

Aug 17 2020

Ho il seguente problema in due parti:

(a) Dimostralo $(z^2 - 1)^{-1}$ ha una radice quadrata analitica in $\mathbb{C} - [-1,1]$

(b) Trova l'espansione di Laurent di una radice quadrata analitica dalla parte (a) su un dominio $\{a: |z| > 1 \}$, centrato su $z = 0$.

Per la parte (a), noto che la trasformazione di mobius $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ mappa il $\mathbb{C} - [-1,1]$ su $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. Da$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ è semplicemente connesso e $F$ è diverso da zero $\mathbb{C} - [-1,1]$, possiamo definire un ramo analitico a valore singolo di $\sqrt{F(z)}$ sopra $\mathbb{C} - [-1,1]$. Quindi, con un rapido calcolo

$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$

è una radice quadrata analitica di $(z^2 - 1)^{-1}$ in $\mathbb{C} - [-1,1]$.

Tuttavia, non so come procedere per la parte (b). Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.

Risposte

Matematleta Aug 17 2020 at 09:24

Per parte $(a)$ perché $|z|>1$, Se $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ possiamo usare il ramo principale del logaritmo e scegliere $\sqrt {w^2}=w.$ Quindi, con $Z=1/z^2$ e notando che il teorema binomiale è valido per $|z|>1,$ noi calcoliamo

$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$

$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$

Se $\theta$ si trova sull'asse reale negativo, quindi scegli il ramo tagliato di conseguenza e ripeti il ​​calcolo sopra per $0<\theta<2\pi$.

Penso anche che possiamo ottenere $(a)$con mezzi elementari. Abbiamo per definizione,

$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. Questa funzione ha punti di diramazione in$1$ e $-1$ ma no $\infty$ quindi possiamo implementare il diagramma

ambientazione $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ e $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ e $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$

e dimostrare l'analiticità con il calcolo diretto. Si tratta di considerare i casi.