Le cosette di sinistra di $H$ nel $G$ partizione $G$

Question

Permettere $G$ essere un gruppo e $H$un sottogruppo. Quindi le cosette di sinistra di$H$ nel $G$ partizione $G$. In particolare,$(1)$ ogni $a$ ∈ G è esattamente in un coset sinistro, cioè $aH$, e $(2)$ Se $a, b \in G$, allora neanche $aH = bH$ o $aH \cap bH = \emptyset $.

La parte $(2)$è fatta. Il mio problema è in parte$(1)$, Ho provato questo ma non sono proprio sicuro:

Permettere $a\in G$, ce l'abbiamo $e\in H$, così $a\in aH$, da $a=ae$. Questo dimostra che$a$ si trova in qualche sinistra coset, vale a dire $aH$.

Ora se $a\in aH$ e $a\in bH$, ce l'abbiamo $a=ae=abh$, così $bh=e$ e quindi $a$ si trova esattamente in un coset sinistro.

Ho ragione?

Answer 1

Supponendo che tu abbia dimostrato (2) procedo:

$\mathbf{Theorem 1:}$ Per $a,b \in G$ prova che $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ Per $a,b \in G$ prova che $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$

Quindi le seguenti condizioni sono equivalenti: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ Da $e \in H, a=ae \in aH$. Permettere$a \in bH$. Poi$aH=bH$. Così$a$ appartiene esattamente a un coset sinistro.