Le isometrie stanno incorporando localmente le labbra

Question

James Munkres nel testo "Analisi sui collettori" fornisce la seguente definizione.

Definizione

Permettere $h:\Bbb R^n\rightarrow\Bbb R^n$. Lo diciamo noi$h$ è un'isometria (euclidea) se $$ ||h(x)-h(y)||=||x-y|| $$ per tutti $x,y\in\Bbb R^n$. Quindi un'isometria è una mappa che preserva le distanze euclidee.

Quindi mi chiedo se è possibile generalizzare la definizione di cui sopra a spazi metrici generali e per la ricerca ho trovato su Wikipedia la seguente definizione.

Definizione

Se $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ sono spazi mterici quindi una funzione $f:X\rightarrow Y$ si chiama isometria se $$ d_Y\big(f(x),f(y)\big)=d_X\big(x,y\big) $$ per ogni $x,y\in X$.

Quindi mi chiedo infine se la seguente affermazione è vera.

Dichiarazione

Permettere $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$due spazi metrici. Quindi le isometrie da$X$ per $Y$ stanno incorporando localmente le labbra di $X$ in $Y$.

Purtroppo non posso provare l'ultima affermazione quindi chiedo di farlo. Quindi qualcuno potrebbe aiutarmi, per favore?

Answer 1

Lemma

Permettere $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$due spazi metrici. Quindi le isometrie da$X$ per $Y$ stanno incorporando localmente le labbra di $X$ in $Y$.

Prova . Quindi con questa definizione chiaramente le isometrie sono funzioni iniettive: infatti$x$ e $y$ sono due punti distinti di $X$ se e solo se $d_X(x,y)\neq 0$ e quindi se e solo se $d_Y\big(f(x),f(y)\big)\neq 0$ e quindi se e solo se $f(x)$ e $f(y)$ sono due punti distinti di $Y$. Quindi se$Z:=f[X]$ allora possiamo definire una funzione inversa $g:Z\rightarrow X$ attraverso la condizione $$ g(z):=f^{-1}(z) $$ per ogni $z\in Z$ e quindi se $x,y\in Z$ sono tali $g(x)=g(y)$ poi dall'iniettività di $f$ è $x=y$ così che $g$ è anche iniettiva e inoltre $(g\circ f)=\text{Id}$. Inoltre gli isometri sono funzioni continue: infatti se$d_X(x,y)<\epsilon$ poi chiaramente $$ d_Y\big(f(x),f(y)\big)<\epsilon $$ per un arbitrario $\epsilon>0$. Infine anche la funzione inversa di un'isometria è un'isometria: appunto$$ d_Y(x,y)=d_Y\Big(f\big(f^{-1}(x)\big),f\big(f^{-1}(y)\big)\Big)=d_X\big(f^{-1}(x),f^{-1}(y)\big)=d_X\big(g(x),g(y)\big) $$ per ogni $x,y\in Z$ così che $g$è anche continuo. Quindi concludiamo che un'isometria è un embeddig. Infine per definizione di isometria$$ \frac{d_Y\big(f(x),f(y)\big)}{d_X(x,y)}=1 $$ per ogni $x,y\in X$ così che un'isometria è globalmente lipschitz e quindi anche localmente lipshitz.