Lemma 4.2 Hartshorne IV

Question

La domanda che ho è riguardo alla dimostrazione fornita nel lemma di Hartshorne IV 4.2. Permettere$X$ essere una curva ellittica e $P,Q\in X$essere punti chiusi. Si può dimostrare che il sistema lineare$|P+Q|$ ha dimensione 1 ed è privo di punto base, e quindi induce un morfismo $g:X \rightarrow \mathbb{P}^1$ di grado 2.

La mia confusione nasce da ciò che Hartshorne ha affermato dopo: sembra implicare che ciascuna fibra di $g$è di cardinalità due (compresi i punti di ramificazione). La mia comprensione del "grado di morfismo" è che se$\deg g =2$, quindi la dimensione dell'estensione del campo $[K(X): K(\mathbb{P}^1)]=2$. Per me sembra che Hartshorne abbia concluso che ogni fibra di$g$ deve quindi avere una fibra di cardinalità 2.

Come l'ha usata Hartshorne per concluderla? Ho pochissima idea di come iniziare e qualsiasi indizio / aiuto dato sarebbe molto apprezzato!

Answer 1

$\newcommand{\Frac}{\mathrm{Frac}}$$\ newcommand {\ Spec} {\ mathrm {Spec}} $ Ecco un modo semplice per capire cosa sta succedendo.

Abbiamo la seguente semplice osservazione:

Osservazione: supponiamo di avere un'inclusione di domini integrali $ A \ hookrightarrow B $ tali che $ B $ sia un $ A $ -modulo libero finito . Poi,

$$ \ mathrm {rank} _A (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$

Dimostrazione: nota che abbiamo un isomorfismo naturale di $ \ mathrm {Frac} (A) $ -algebras

$$ B \ otimes_A \ text {Frac} (A) \ cong \ mathrm {Frac} (B) $$

Infatti, abbiamo la mappa naturale $ B \ otimes_A \ mathrm {Frac} (A) \ to \ Frac (B) $ derivante dalle inclusioni di $ A $ -algebras $ B \ hookrightarrow \ Frac (B) $ e $ \ Frac (A) \ hookrightarrow \ Frac (B) $ . Questa mappa è un'inclusione poiché ce l'abbiamo

$$ 0 \ to \ mathrm {Frac} (A) \ to \ mathrm {Frac} (B) $$

è una sequenza esatta di $ A $ -moduli e quindi, poiché $ B $ è $ A $ -flat, ciò induce un'inclusione

$$ 0 \ a B \ otimes_A \ Frac (A) \ a B \ otimes_A \ Frac (B) $$

Ma, evidentemente $ B \ otimes_A \ Frac (B) = \ Frac (B) $ .

Quindi, vediamo che $ B \ otimes_A \ Frac (A) $ è un dominio contenente $ B $ in $ \ Frac (B) $ . È quindi un campo poiché è un dominio integrale che è finito come uno spazio $ \ Frac (A) $ -vettore, quindi usa l'argomento usuale (ad esempio, vedere in fondo [1]). Ma allora è un sottocampo di $ \ Frac (B) $ contenente $ B $ , e quindi uguale a $ \ Frac (B) $ .

Poiché $ B $ è un modulo libero finito, lo vediamo

$$ \ mathrm {rank} _A (B) = \ dim _ {\ Frac (A)} (B \ otimes_A \ Frac (A)) = \ dim _ {\ Frac (A)} \ Frac (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$

come desiderato $ \ blacksquare $

Perché questo ci aiuta? Bene, nota che se $ g: C \ to D $ è una qualsiasi mappa non costante di curve proiezioni geometricamente integrali lisce su $ F $ ( $ F $ è un campo qualsiasi) allora $ g $ è piatto finito. Entrambi possono essere controllati su $ \ overline {F} $ , quindi lo assumiamo. La finitezza forse richiede una piccola quantità di lavoro (ad esempio, ecco una prova eccessiva: è corretta poiché $ C $ e $ D $ sono, e quasi finita poiché $ C $ ha la topologia cofinita e $ g $ non è costante - esso segue quindi dal teorema principale di Zariski). La piattezza è facile poiché $ g $ è suriettiva (poiché $ g (C) $ è un sottoinsieme chiuso irriducibile che non è un punto) e una suriezione di schemi di Dedekind è piatta (ad esempio si veda [2, Proposizione 3.9]).

Quindi, vediamo che se $ \ Spec (B) $ è un sottoinsieme aperto affine di $ D $ allora $ g ^ {- 1} (\ Spec (B)) = \ Spec (A) $ per qualche sottoinsieme aperto affine $ \ Spec (A) $ di $ C $ . Ma, dalle nostre ipotesi sappiamo che $ A $ e $ B $ sono entrambi domini integrali e la mappa $ A \ to B $ è iniettiva (poiché $ \ Spec (A) \ to \ Spec (B) $ è dominante). Inoltre, restringendo ulteriormente possiamo presumere che $ B $ sia un $ A $ -modulo gratuito (ad esempio, poiché $ B $ è piatto finito, è localmente libero sopra $ A $ - per esempio vedere [3, Tag02KB]) Quindi, per il nostro lemma lo abbiamo

$$ \ mathrm {rank} _A (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$

Tuttavia, nota che $ \ Frac (B) = K (D) $ e $ \ Frac (A) = K (C) $ . Quindi, lo vediamo

$$ \ mathrm {rank} _A (B) = [K (D): K (C)] $$

Ma, se $ p $ è un punto qualsiasi di $ \ Spec (B) $ , corrispondente a un primo $ \ mathfrak {p} $ di $ B $ , allora sappiamo che

$$ g ^ {- 1} (p) = \ Spec (B \ otimes_A A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}) $$

Quindi, è facile vederlo

$$ \ # g ^ {- 1} (p) \ leqslant \ dim_ {A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}} (B \ otimes_A A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}) = \ mathrm {rango} _A (B) = [K (D): K (C)] $$

Quindi, in sintesi, quanto sopra mostra che se hai una mappa non costante delle curve da $ g: C \ a D $, la dimensione della fibra (diciamo su un punto chiuso) è limitata da $ [K (D) : K (C)] $ e, infatti, se definisci 'dimensione' come dimensione delle sezioni globali oltre $ F $ (dove assumiamo che $ F $ sia chiusa algebricamente per semplicità) è precisamente $ [K (D) : K (C)] $ - in altre parole, se si associa la dimensione della fibra "con molteplicità" a nilpotenti (cioè la ramificazione di $ g $ ), la dimensione della fibra è precisamente $ [K (D): K (C) ] $ .

[1] L' omomorfismo di $ k $ -algebre induce l'omomorfismo dello spettro massimo

[2] 刘 擎 (Qing Liu), 2002. Geometria algebrica e curve aritmetiche (Vol. 6). Oxford University Press on Demand.

[3] Vari autori, 2020. Progetto Stacks .https://stacks.math.columbia.edu/