Lievitazione $(a^2 + 1)(b ^2 + 1)(c ^2 + 1) ≥ 2(ab + bc + ca)$ dove $a,b,c$ sono numeri reali.

Question

La disuguaglianza di cui sopra sembra molto convincente per il metodo pqr.
Quindi questo è stato il mio tentativo$$ LHS = (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) = 1 + a^2 + b^2 + c^2 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2c^2 $$ Ora sostituendo $p = a+b+c$ , $q = ab+bc+ca$ e $r = abc$. $$ LHS = 1 + p^2 - 2q + q^2 - 2pr + r^2 \geq 2q \Rightarrow 1 + p^2 + q^2 + r^2 \geq 4q + 2pr $$ È abbastanza noto $p^2\geq 3q$ e $q^2\geq 3pr$. Così,$$ 1 + 3q + 3pr + r^2 \geq 4q + 2pr \Rightarrow 1 + pr + r^2 \geq q $$Ma non so come dimostrarlo. Lo si può anche vedere$a\ge b\ge c$, ma non posso sfruttare la simmetria.
Qualsiasi aiuto è per fortuna il benvenuto.

Answer 1

Procedendo lungo il tuo approccio :

Basta provarlo $1 + p^2 - 2q + q^2 - 2pr + r^2 \ge 2q$.

Da $p^2 \ge 3q, q^2 \ge 3pr$, è sufficiente dimostrarlo $1 + 3q - 2q + q^2 - \frac{2}{3}q^2 \ge 2q$
o $1 - q + \frac{q^2}{3} \ge 0$
o $\frac{1}{3}(q - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4} \ge 0$che è vero. Abbiamo chiuso.

Answer 2

Se scrivi LHS - RHS come quadratico in $a$, allora il discriminante è: $$D = 4(b+c)^2 - 4((b^2+1)(c^2+1)-2bc)(b^2+1)(c^2+1).$$ Ma $(b^2+1)(1+c^2)\geq (b+c)^2$ di CS e $(b^2+1)(c^2+1)-2bc = b^2c^2+(b-c)^2+1\geq 1,$ quindi il discriminante è non positivo.

Answer 3

Perché $2(ab + bc + ca) \leqslant 2(|a||b| + |b||c| + |c||a|)$ e $$(a^2 + 1)(b ^2 + 1)(c ^2 + 1) = (|a|^2 + 1)(|b| ^2 + 1)(|c| ^2 + 1),$$ quindi dobbiamo dimostrare la disuguaglianza quando $ a,\,b,\,c \geqslant 0.$

Anzi, facile da controllare $3t^2 \geqslant 3t-1.$ Ora, usando l'AM-GM che abbiamo $$(a^2 + 1)(b ^2 + 1)(c ^2 + 1) \geqslant a^2 + b^2 + c^2 + 1 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$$ $$ \geqslant a^2+b^2+c^2+1+3\sqrt[3]{(abc)^4}$$ $$ \geqslant a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2}.$$ Quindi lo mostreremo $$a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2} \geqslant 2(ab+bc+ca).$$Che è molto noto ( qui , qui ).