limite di $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

Question

Domanda: limite di$\lim\limits_{n \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

Le prime cose che noto sono: $\lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ e il limite sembra qualcosa della forma $(1 + \frac{1}{x})^x$. Sfortunatamente, non riesco ad applicare queste idee per risolvere i limiti. Non sono sicuro che sia giusto:

$$\ln(y) = \lim\limits_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{\pi}{2} - \arctan(x)) = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}$$

Applicare la regola dell'hopital ...?

Qualcuno potrebbe confermare che questo approccio è giusto o, se sbagliato, fornire un approccio corretto?

Answer 1

Da $\frac{\pi}{2} - \arctan(x) =\arctan \left(\frac1x\right)\to 0$ possiamo usarlo

$$\left(1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x)\right)^x=\left[\left(1+ \arctan\left(\frac1x\right)\right)^{\frac{1}{\arctan\left(\frac1x\right)}}\right]^{x\arctan\left(\frac1x\right)}$$

e quindi fare riferimento ai limiti standard.

O in alternativa, seguendo la tua idea

$$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln\left(1+\arctan \left(\frac1x\right)\right)}{\arctan \left(\frac1x\right)}\,\frac{\arctan \left(\frac1x\right)}{\frac1x}$$

e poi concludere di nuovo per limiti standard.

Answer 2

$$A=\left(1+ \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)\right)^x=\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x$$

$$\log(A)=x \log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$

Di Taylor $$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3 x^3}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}+\frac{1}{12 x^4}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log(A)=1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{12 x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e \left(1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{8 x^2}+\frac{1}{16 x^3} \right)+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$

modificare

Ritenere $x=\frac {11}{24}\pi$ (questo è abbastanza lontano da $\infty$) per il quale è l'arcotangente $\left(1+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$.

il valore esatto è $1.97993$ mentre questa espressione troncata dà $1.99516$.

In effetti, l'errore relativo è minore di $0.01$% Se $x\geq3$