Logica della definizione precisa dei limiti?

Question

Sono una matricola del college che studia calcolo da Thomas. In questo momento sto imparando la definizione precisa dei limiti utilizzando il metodo delta epsilon da utilizzare nelle dimostrazioni ecc.

Noto che quando si dimostra il limite di una funzione, viene fornito prima il limite e poi viene utilizzato il metodo epsilon delta. Ma non è come mettere il carro davanti ai buoi.

Ad esempio, diciamo che devo dimostrare il limite di 5x-3 in x-> 1. Sembrerebbe che l'ordine prescritto sia solo usare la regola di sostituzione per i polinomi, ottenere 2 come limite, quindi utilizzare il metodo epsilon delta per mostrare che il limite è effettivamente 2. Questo mi confonde perché il limite non dovrebbe essere un 'sconosciuto 'in primo luogo e si usa una dimostrazione per derivare il limite come 2. Come faccio a sapere in primo luogo che il limite 2 dovrebbe essere usato come punto di partenza? L'ordine logico mi sembra arretrato.

Answer 1

Per prima cosa hai bisogno di un candidato adatto / di un'ipotesi plausibile per quale dovrebbe essere il limite. Quindi, solo dopo, puoi usare la definizione precisa per DIMOSTRARE che la tua ipotesi iniziale è davvero il caso. Inoltre, puoi vedere che questo è il meglio che puoi fare semplicemente da come viene fornita la definizione dei limiti:

Definizione.

Permettere $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ essere una funzione, $a\in\Bbb{R}$. Noi diciamo$f$ ha un limite finito a $a$ se esiste $l\in \Bbb{R}$ tale che per ogni $\epsilon>0$, lì esiste $\delta>0$ tale che per tutti $x\in\Bbb{R}$, Se $0<|x-a|<\delta$ poi $|f(x)-l|< \epsilon$.

(In questo caso, possiamo dimostrarlo $l$ è unico e lo denotiamo come $\lim_{x\to a}f(x)$)

Notare come la definizione inizia con "esiste $l\in \Bbb{R} \dots$"Solo dal modo in cui è formulato, suggerisce che prima ancora di controllare il $\epsilon,\delta$ criterio, è necessario disporre di un valore candidato per il limite $l$. Da nessuna parte la definizione ti dice cosa$l$ è o come fare per indovinare questo (questo "lavoro di ipotesi" è qualcosa che si impara lungo la strada mentre si impara di più).

Ad esempio, se avessi due funzioni $f$ e $g$, con $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ e $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$, quindi se tutto ciò che fai è fissare la definizione dei limiti, non puoi dirlo in alcun modo $f+g$ ha anche un limite e che il limite è uguale $l_1+l_2$. L'unica ipotesi naturale sarebbe che se$f+g$ aveva un limite, quindi era meglio che fosse $l_1+l_2$.

Quindi, una volta che hai questa ipotesi, procedi a dimostrarlo usando il preciso $\epsilon,\delta$ definizione (dove il nocciolo della dimostrazione è la disuguaglianza del triangolo).