Mappatura dello spazio delle coordinate reali su numeri iperreali preservando l '"ordine lessicografico"
Inventare una funzione $f:X^n \rightarrow \mathbb{R}$ dove $X$ è un insieme finito di numeri interi tale che l'ordine lessicografico è preservato è semplice:
$$f(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i (\max(X))^{n-i}}$$
È possibile trovare una funzione simile, ma che mappa lo spazio delle coordinate reali su numeri iperreali preservando l '"ordine lessicografico" ($g:\mathbb{R}^n \rightarrow {}^*\mathbb{R}$)? Chiedo di numeri iperreali perché non è possibile nel caso di numeri reali (Debreu, G. (1954). Rappresentazione di un ordinamento di preferenza da una funzione numerica. Processi decisionali, 3 , 159-165.) Inoltre, dico " ordine lessicografico "con virgolette perché l'ordine lessicografico (basato sulla mia comprensione) tecnicamente è un ordinamento di sequenze di elementi di un insieme finito , ma non sembra irragionevole estendere il concetto per includere sequenze di elementi di un insieme infinito, cioè$$(x_1, x_2, \dots ,x_{n-1}, x_n) \leq(y_1, y_2, \ldots ,y_{n-1}, y_n) \iff (x_1<y_1) \lor ((x_1=y_1) \land ((x_2<y_2) \lor \ldots ))$$
Qualcosa come il seguente lavoro?
$$g(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i \omega^{n-i}}$$
Risposte
La tua comprensione è corretta; dati due set parzialmente ordinati$(A, <_A)$ e $(B, <_B)$ possiamo sempre definire l'ordinamento lessicografico sul prodotto cartesiano $A \times B$ di $$(a_1, b_1) \leq_{\text{lex}} (a_2, b_2) \iff a_1 <_A a_2 \text{ or } (a_1 = a_2 \text{ and } b_1 <_B b_2);$$ ciò si estende naturalmente a prodotti finiti e infiniti di insiemi parzialmente ordinati, anche se nel caso di prodotti infiniti $\leq_{\text{lex}}$ si comporta in modo leggermente diverso (vale a dire, non è un buon ordine).
La funzione $g: \mathbb R^n \to {}^*\mathbb R$quello che definisci fa davvero il lavoro; ecco i dettagli.
Permettere $\mathcal U$ essere un ultrafiltro non principale su $\mathbb N$, così che ${}^* \mathbb R = \mathbb R^{\mathbb N} / \mathcal U$; nota anche che da allora$\mathcal U$non è principale, contiene il filtro Fréchet , quindi tutti i set cofinite di$\mathbb N$ sono dentro $\mathcal U$. In tutto, se$(a_n) \in \mathbb R^{\mathbb N}$ denotiamo la sua classe di equivalenza in ${}^* \mathbb R$ di $[(a_n)]$. Inoltre, ricorda che un numero standard$r$ in ${}^*\mathbb R$ è dato dalla classe di equivalenza della sequenza costante $(r, r, r, \dots)$e che se $[(a_n)], [(b_n)] \in {}^*\mathbb R$, poi $$[(a_n)] < [(b_n)] \iff \{n \in \mathbb N: a_n < b_n \} \in \mathcal U. \tag {$\pugnale$}$$
Lo dimostriamo ora per tutti $n \in \mathbb N$ Se $(x_1,x_2, \dots, x_n) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_n)$ in $\mathbb R^n$, poi $g(x_1, x_2, \dots, x_n) \leq g(y_1, y_2, \dots, y_n)$ in ${}^*\mathbb R$. Lo facciamo con una forte induzione$n$; il caso$n=1$ è banale, quindi supponi che ci sia $ k \in \mathbb N^{>1}$ tale che il risultato vale per tutti $n \leq k$ e supponiamo che $(x_1, x_2 \dots, x_{k}, x_{k+1}) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_k, y_{k+1})$. Abbiamo due casi principali:
- $\underline{x_1 < y_1}$. Lo dimostreremo per tutti$x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$, ce l'abbiamo $$x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}. \tag{$\stella$}$$ Non assumere per contraddizione, in modo che esistano $x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$ tale che $$y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} < x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ast$}$$ Da $\omega = [(1,2,3, \dots)] = [(n)]$, di $(\dagger)$ ce l'abbiamo $(\ast)$ è equivalente alla dichiarazione che l'insieme \begin{align} S &= \Bigg\{ n \in \mathbb N : y_1n^k + y_2n^{k-1} + \dots + y_{k+1}n^0 < x_1n^k + x_2n^{k-1} + \dots + x_{k+1}n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1-x_1)n^k < (x_2-y_2)n^{k-1} + \dots + (x_{k+1} -y_{k+1} )n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1 -x_1)n^k < \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}\Bigg\}\end{align} è nel nostro ultrafiltro $\mathcal U$. D'altra parte, nota che da allora$x_1 < y_1$, ce l'abbiamo $0 < (y_1 -x_1) n^k$ per tutti $n \in \mathbb N$, così che $(y_1 -x_1)n^k$ in una funzione strettamente crescente in $n$. In particolare, esiste$N \in \mathbb N$ tale che per tutti $n \geq N$ noi abbiamo $(y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}$; quindi, il set$$S' = \Bigg\{n\in \mathbb N : (y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=1}^{k+1}(x_i-y_1)n^{k+1-i}\Bigg\} $$ è cofinite, quindi $S' \in \mathcal U$. Tuttavia, tieni presente che$S' = S \backslash \mathbb N$, quindi abbiamo quello $S \in \mathcal U$ e $S \backslash \mathbb N \in \mathcal U$, contraddicendo il fatto che $\mathcal U$è un ultrafiltro; quindi la nostra ipotesi è falsa e$(\star)$ segue, come richiesto.
- $\underline{x_1 = y_1 \text{ and } x_2 < y_2}$. Da$x_1 = y_1$, dimostrandolo $$x_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} $$ si semplifica per dimostrarlo $$\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ddagger$}$$ Definisci ora $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) = (x_2, x_3, \dots, x_{k+1})$ e $(y'_1, y'_2, \dots, y'_{k}) = (y_2, y_3, \dots, y_{k+1})$. Da$x_2 < y_2$, ce l'abbiamo $x'_1 <y'_1$, così $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) \leq_{\text{lex}} (y'_1, y'_2, \dots, y'_{k})$ per definizione di $\leq_{\text{lex}}$, ed inoltre $(\ddagger)$ diventa $$\sum_{i=1}^{k}x'_i\omega^{k-i} \leq \sum_{i=1}^{k}y'_i\omega^{k-i};\tag{$\ star \ star$}$$ dalla nostra ipotesi induttiva, $(\star\star)$ vale, quindi lo fa $(\ddagger)$ e abbiamo finito.
Gli altri casi (diciamo $x_1 = y_1$, $x_2= y_2$ e $x_3 < y_3$) seguono lo stesso argomento del punto precedente utilizzando l'ipotesi di induzione forte.