Mappe di moltiplicazione per fasci di grandi linee

Question

In Birational Geometry of Algebraic Varieties , Kollar e Mori scrivono che per un fascio di linee "essere grande è essenzialmente la versione birazionale dell'essere ampio" (pagina 67). Ricorda che un fascio di linee$L$ su una varietà proiettiva $X$ di dimensione $d$è grande se

$$ \limsup_{n \to \infty } \dfrac{H^0(X,L^n)}{n^d} \neq 0.$$

In altre parole, il tasso di crescita degli spazi delle sezioni globali è il più grande possibile. I fasci di linee grandi tendono a mostrare un comportamento analogo ai fasci di linee ampi. Darò un paio di esempi. In quanto segue, lascia$X$ essere una varietà sui numeri complessi e lascia $L$ essere un pacchetto di linee su $X$.

1. Supponiamo $X$è normale. Se$L$ è ampio, un po 'di potere $L$definisce l'incorporamento in uno spazio proiettivo. Analogamente, se$L$ è grande, un po 'di potere $L$ definisce una mappa

$$ \varphi_m: X \dashrightarrow H^0(X,L^m)$$

ciò è birazionale sulla sua immagine ( Positivity in Algebraic Geometry I , pagina 139).

1. Se $L$ è ampio, un po 'di potere $L$è generato globalmente. D'altra parte, se$L$ è grande, un potere positivo di $L$è genericamente generato globalmente; cioè la mappa naturale

$$ H^0(X,L^m) \otimes \mathcal{O}_{X} \rightarrow L^m$$

è genericamente suriettiva ( Positivity in Algebraic Geometry I , pagina 141).

Ora, per arrivare alla mia domanda, ricorda che se $L$ è ampio, esiste un numero naturale $m$ tale che le mappe di moltiplicazione

$$ H^0(X,L^a) \otimes H^0(X,L^b) \rightarrow H^0(X,L^{a+b}) $$

sono suriettivi per $a,b \geq m$( Positività in Geometria Algebrica I , pagina 32).

Domanda : I grandi fasci di linee hanno una proprietà analoga alla suriettività delle mappe di moltiplicazione?

Non mi è chiaro quale dovrebbe essere questa proprietà, ma spero che queste mappe di moltiplicazione abbiano un rango elevato in un certo senso appropriato.

Answer 1

Se $R(L)=\oplus H^0(mL)$ non è generato in modo finito, la suriettività di cui sopra fallirà, tuttavia rimarrà "asintoticamente" per qualsiasi fascio di linee grandi $L$. Infatti, dall'approssimazione di Fujita delle grandi classi (vedi ad esempio il Teorema 11.4.4 della positività di Lazarsfeld), per qualsiasi$\epsilon >0$ c'è una modifica birazionale $f:X'\to X$ tale che $f^*L=A+E$ dove $A$ è un ampio $\mathbb Q$-divisor e $E$ è un efficace $\mathbb Q$-divisore tale che ${\rm vol}(A)>{\rm vol}(L)-\epsilon$. Quindi, nel caso ampio, c'è un file$m>0$ tale che $H^0(aA)\otimes H^0(bA)\to H^0((a+b)A)$ è suriettivo per tutti $a,b\geq m$ sufficientemente divisibile (in modo che $aA$ e $bA$sono Cartier). Da$f_*\mathcal O _{X'}(aA)\subset \mathcal O _X(aL)$, vediamo che se $$V_{a,b}={\rm Im} \left( H^0(aL)\otimes H^0(bL)\to H^0((a+b)L))\right),$$ poi $\dim V_{a,b}/h^0((a+b)L)>(1-\epsilon)$ per $m\gg 0$.