Massimizzare il valore di $|z|$ dove $az^2 + bz + c = 0$
Permettere $a,$ $b,$ $c,$ $z$ essere numeri complessi in modo tale $|a| = |b| = |c| > 0$ e $$az^2 + bz + c = 0.$$Trova il valore più grande possibile di $|z|.$
Ho immediatamente impostato equazioni che me lo dicevano $$a_1^2 + a_2^2 = b_1^2 + b_2^2 = c_1^2 + c_2^2$$ e quello $$(a_1 + a_2i)(z_1+z_2i)^2 + (b_1+b_2i)(z_1+z_2i) + (c_1 + c_2i).$$Tuttavia, non sono sicuro di come andare avanti da qui. Qualcuno può darmi una spinta nella giusta direzione?
Risposte
Le radici di
$$z^2+e^{i\phi}z+e^{i\psi}=0$$ siamo $$\frac{-e^{i\phi}\pm\sqrt{e^{i2\phi}-4{e^{i\psi}}}}2.$$
Il valore più grande è quando tutti i termini si sommano al massimo (essendo allineati), dando
$$\frac{1+\sqrt{1+4}}2.$$
(Si scopre che questa è una versione lunga della risposta di Yves Daoust.)
Permettere $r = |a| = |b| = |c| > 0$ e lascia $a = r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta(a)}$, $b = r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta(b)}$, e $c = r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta(c)}$. Notare che$$ a z^2 + b z + c = 0 $$ se e solo se $$ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta(a)} a z^2 + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta(a)}b z + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta(a)}c = 0 \text{,} $$ o qual è la stessa cosa $$ r z^2 + r \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(b) - \theta(a))}z + \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(c) - \theta(a))} = 0 \text{.} $$ In altre parole, possiamo ruotare il piano contenente i punti $a$, $b$, e $c$ fino a $a$ atterra sull'asse reale positivo e il polinomio avente i coefficienti ruotati ha le stesse radici del polinomale originale.
Con la formula quadratica, \begin{align*} z &= \frac{-r \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(b) - \theta(a))} \pm \sqrt{r^2 \mathrm{e}^{2\mathrm{i} (\theta(b) - \theta(a))} - 4r\cdot r\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(c) - \theta(a))}}}{2r} \\ &= \frac{-r \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(b) - \theta(a))} \pm |r|\sqrt{\mathrm{e}^{2\mathrm{i} (\theta(b) - \theta(a))} - 4\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(c) - \theta(a))}}}{2r} \\ &= \frac{1}{2} \left( - \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(b) - \theta(a))} \pm \sqrt{\mathrm{e}^{2\mathrm{i} (\theta(b) - \theta(a))} - 4\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(c) - \theta(a))}} \right) \\ \end{align*} Permettere $u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(b) - \theta(a))}$ e $v = \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\theta(c) - \theta(a))}$, così che $|u| = |v| = 1$ e $$ z = \frac{1}{2} \left( -u \pm \sqrt{u^2 - 4v} \right) \text{.} $$ Poi $$ |2z+u|^2 = |u^2 - 4v| \text{.} $$ Ora la disuguaglianza del triangolo dà $$ \min\{|u|^2 - 4|v|, 4|v| - |u|^2\} \leq |u^2 - 4v| \leq 4|v| + |u|^2 $$ e possiamo usare la nostra conoscenza che $|u| = |v| = 1$ ottenere $$ -3 \leq |u^2 - 4v| \leq 5 \text{.} $$ Sappiamo che i moduli non sono negativi quindi $|u^2 - 4v| \in [0,5]$. Così\begin{align*} |2z+u|^2 \in [0,5] \\ |2z+u| \in [0,\sqrt{5}] \text{.} \end{align*} Da $|u| = 1$, noi abbiamo $$ |2z| - 1 \leq |2z+u| \leq |2z|+1 \text{.} $$ Da sinistra $|2z| \in [1,1+\sqrt{5}]$, così $|z| \in [1/2,\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$. Da destra$|2z| \in [0,\sqrt{5} - 1]$, che non fornisce un limite superiore più ampio. Quindi, un limite superiore è$|z| \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Poiché abbiamo utilizzato la disuguaglianza triangolare che separa le grandezze dipendenti ($-u$ e $u^2$ non sono indipendenti), dovremmo verificare che ci sia un'assegnazione degli argomenti di $u$ e $v$che rendono la disuguaglianza triangolare estrema. Analizzando il primo utilizzo, abbiamo bisogno$v$ e $u^2$essere antiparallelo. Analizzando il secondo utilizzo, abbiamo bisogno$-u$ e $u^2$essere antiparallelo. Così per$u$, abbiamo bisogno di un argomento il cui doppio punti nella direzione opposta, per esempio $\pi$ è un possibile argomento per $u$. Poi$v$ è antiparallelo a $u^2$ quindi è parallelo a $u$. Controllo del polinomio$$ z^2 - z - 1 = 0 \text{,} $$ troviamo che ha la radice $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, quindi il limite superiore che abbiamo trovato viene effettivamente raggiunto per valori particolari di $u$ e $v$, quindi per valori particolari di $a$, $b$, e $c$, e quindi è il modulo massimo di $z$.