$\mathbb N$ è un campo

Aug 18 2020

Troviamo una biiezione $\phi$ fra $\mathbb N$ e $\mathbb Q$. Quindi, definendo l'addizione e la moltiplicazione corrispondentemente su$\mathbb N$ (tale che $\phi$ diventa un omomorfismo) si trasforma $\mathbb N$ in un campo.

C'è un errore nel mio ragionamento?

Risposte

5 NoahSchweber Aug 18 2020 at 12:44

Un campo non è solo un insieme , è un insieme insieme a qualche struttura aggiuntiva (le due operazioni sul campo). Quindi non è del tutto vero$\mathbb{Q}$ è un campo, piuttosto $(\mathbb{Q};+,\times)$ è un campo.

Le biiezioni ci consentono di "struttura di trasporto:" se $\oplus,\otimes$ sono operazioni binarie su alcuni set $A$ tale che $(A;\oplus,\otimes)$ è un campo e $f:A\rightarrow B$è una biiezione, possiamo dare$B$la struttura di un campo in modo naturale: considera le operazioni$\hat{\oplus}$ e $\hat{\otimes}$ dato da $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ per $x,y\in B$. Ma il set $B$in sé non è un campo; piuttosto, la struttura $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ è un campo.

In particolare, quando alziamo il solito $+$ e $\times$ lungo la tua biiezione preferita $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$, otteniamo operazioni $\hat{+}$ e $\hat{\times}$ tale che $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$è un campo, ma queste operazioni avranno un aspetto molto strano - in particolare, saranno completamente diverse dalla solita addizione e moltiplicazione di numeri naturali a cui siamo abituati. Quindi non c'è tensione tra questo risultato e il fatto che$(\mathbb{N};+,\times)$chiaramente non è un campo.

2 lisyarus Aug 18 2020 at 12:42

Non ci sono errori. In effetti, qualsiasi insieme infinito può essere trasformato in un campo. Nota che le operazioni che definisci su$\mathbb N$ in questo modo sarà necessariamente diverso dalla solita addizione e moltiplicazione di numeri naturali (perché con le normali operazioni i numeri naturali non sono un campo).

2 fleablood Aug 18 2020 at 13:18

Utilizzando la solita mappatura diagonale ma alternando valori positivi e negativi e saltando le rappresentazioni duplicate di "frazioni non in termini minimi" possiamo avere la biiezione di cui i primi diversi termini sono:

$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$

Questo è un campo. L'identità additiva è$1$ e $1 + k = k+1 = k$ per tutti $k \in \mathbb N$.

Ogni valore, $k$ ha un additivo inverso, $-k$ così che $k+(-k)= 1$. Ad esempio, l'additivo inverso di$4$ è $-4 =5$ e $4+5 = 1$. allo stesso modo$-11 = 10$ e $11 + 10 = 1$.

L'identità moltiplicativa è $2$ e $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ per tutti $k \in \mathbb N$.

E per ogni valore $k$ tranne $1$, avrà un inverso moltiplicativo $\frac 1k$ dove $k\cdot \frac 1k = 2$. Per esempio$\frac 14 = 6$ e $4\cdot 6 = 2$.

E così via.

Tutto questo ha senso perché tutto ciò che ho fatto è stato sostituire i "soliti" numeri razionali con ciò che li mappano. Se prendo appunti$k \color{blue}{\mapsto m}$ per rappresentare ciò che "veramente" intendo e tagliare e incollare ciò che ho scritto sopra sarebbe:

...........

Questo è un campo. L'identità additiva è$1\color{blue}{\mapsto 0}$ e $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ per tutti $k \in \mathbb N$.

Ogni valore, $k$ ha un additivo inverso, $-k$ così che $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Ad esempio, l'additivo inverso di$4\color{blue}{\mapsto 2}$ è $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ e $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. allo stesso modo$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ e $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.

L'identità moltiplicativa è $2\color{blue}{\mapsto 1}$ e $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ per tutti $k \in \mathbb N$.

E per ogni valore $k$ tranne $1\color{blue}{\mapsto 0}$, avrà un inverso moltiplicativo $\frac 1k$ dove $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. Per esempio$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ e $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.

E così via.