Matrice che soddisfa il polinomio$A^3+A^2+A-3I = 0$
Supponiamo di avere un$n\times n$matrice reale simmetrica$A$. Se soddisfa l'equazione
$$A^3+A^2+A-3I = 0,$$
di cosa possiamo dire$A$? C'è più di una matrice di dimensioni$n\times n$quale può contenere questa proprietà?
Quello a cui sto pensando è di prendere in considerazione l'LHS, che mi dà$(A-I)(A^2+2A+3I) = 0$. Per il teorema di Cayley-Hamilton, abbiamo$(x-1)(x^2+2x+3) = 0$. Da$A$è reale e simmetrica, ha solo autovalori reali. Allora non abbiamo bisogno di considerare il termine$x^2+2x+3$, che dà$x-1=0$. Così$A-I=0$, e$A = I$. Ma dubito fortemente che questo sia l'approccio sbagliato.
Grazie mille per il vostro aiuto!
modifica: apprezzo voi ragazzi che avete risposto molto. Ma esiste un modo che non richieda la conoscenza dei polinomi minimi? Grazie ancora!
Risposte
Un polinomio annullante per la matrice$A$è
$(x^3+x^2+x-3)$che può essere affrontato come$(x-1)(x^2+2x+3) $
Nota :$ (x^2+2x+3)$non ha radici reali
Quindi il polinomio minimo è uno dei seguenti
$(x-1), (x^2+2x+3), (x-1)(x^2+2x+3)$
Ma da allora$A$è simmetrico quindi (ortogonalmente) diagonalizzabile e quindi il polinomio minimo è prodotto di distinti fattori lineari che dà$(x-1)$come unico polinomio minimo possibile.
Così$A=I$
A deve essere l'identità. Sappiamo che è necessario dividere il polinomio minimo:$$x^{3}+x^{2}+x-3=\left(x-1\right)\cdot\left(x^{2}+2x+3\right)$$La matrice è simmetrica, quindi il suo polinomio caratteristico deve essere diviso nel campo. Il polinomio minimo deve dividerlo, quindi anche esso deve dividersi. Lo sappiamo$x^{3}+x^{2}+x-3$e$\left(x^{2}+2x+3\right)$non dividere su R, quindi il polinomio minimo deve essere x-1