Metrica inversa per decomposizione 3 + 1

Aug 16 2020

Stavo cercando di leggere la decomposizione 3 + 1 dello spaziotempo dalla sezione 12.2 del libro Gravitation Foundations and Frontiers di Padmanabhan. Tuttavia, anche altre fonti possono fornire il contesto per la mia domanda.

Una volta che il sistema di coordinate $(t,y^\alpha)$ è stato adottato nello spaziotempo dalla foliazione, $x^a=x^a(t,y^\alpha)$, poi possiamo scrivere (anche il libro usa la convenzione $a=0,1,2,3$; $\alpha=1,2,3$ o gli indici latini rappresentano lo spaziotempo e gli indici greci solo lo spazio), \begin{align} dx^a&=\frac{\partial x^a}{\partial t}dt+\frac{\partial x^a}{\partial y^\alpha}dy^\alpha\nonumber\\ &=t^adt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha\right)dt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Ndt\right)n^a+\left(N^\alpha dt+dy^\alpha\right)e^a_\alpha \end{align} Dove abbiamo utilizzato il fatto che la tangente alle curve parametrizzate da $t$ è $t^a=\partial x^a/\partial t=Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha$; e$N$è chiamata funzione lapse e$N^\alpha$è chiamato il vettore di spostamento .$e^a_\alpha=\partial x^a/\partial y^\alpha$ sono le tangenti all'ipersuperficie chiamate tetradi.

L'elemento di linea (quadrato) ora diventa, \begin{align} ds^2&=g_{mn}dx^mdx^n\nonumber\\ &=g_{mn}\left[\left(Ndt\right)n^m+\left(N^\alpha dt+dx^\alpha\right)e^m_\alpha\right]\left[\left(Ndt\right)n^n+\left(N^\beta dt+dx^\beta\right)e^n_\beta\right]\nonumber\\ &=-N^2dt^2+h_{\alpha\beta}\left(dx^\alpha+N^\alpha dt\right)\left(dx^\beta+N^\beta dt\right), \end{align} Qui, \begin{align} h_{\alpha\beta}=g_{mn}e^m_\alpha e^n_{\beta}=g_{\alpha\beta}. \end{align} La metrica può essere letta dall'elemento di riga sopra, \begin{align} g_{00}=-N^2+N_\gamma N^\gamma,\quad g_{0\alpha}=N_\alpha,\quad g_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta} \end{align} In forma di matrice, \begin{align} g_{mn}=\begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \end{align}

La mia domanda è come calcolare l'inverso di questa metrica?

Ho provato a farlo ma non ci sono riuscito tranne che per il componente $g^{00}$e non sono sicuro che questa derivazione sia corretta. Quindi lasciatemi descrivere il processo di seguito.

Ora, come $\partial_a t=\delta^t_a=\delta^0_a$ nel sistema di coordinate $(t,y^\alpha)$. Quindi,\begin{align} g^{00}&=g^{ab}\partial_a t\partial_b t\nonumber\\ &=\frac{1}{N^2}g^{ab}n_an_b\nonumber\\ &=-N^{-2}. \end{align} Dove ho usato il fatto che i vettori normali sono definiti come $n_a=-N\partial_a t$ e la normalizzazione per ipersuperfici simili allo spazio è tale che $n^an_a=-1$.

Nel libro, i componenti per la metrica inversa sono indicati come, \begin{align} g^{00}=-N^{-2},\quad g^{0\alpha}=N^{-2}N^{\alpha},\quad g^{\alpha\gamma}=h^{\alpha\gamma}-N^{-2}N^\alpha N^\gamma \end{align}

Pertanto la risposta che sto cercando è la derivazione passo passo della metrica inversa dati i componenti della metrica e inoltre si dovrebbe verificare se il mio calcolo per $g^{00}$è corretta. Grazie.

Risposte

2 VacuuM Aug 22 2020 at 09:58

Lasciamelo fare una volta per tutte. Sebbene la domanda abbia avuto risposta da spiridon, vorrei dare una derivazione formale poiché la risposta di spiridon implica un lavoro di supposizione. Abbiamo una situazione in cui dobbiamo calcolare l'inverso di una matrice partizionata. Quindi deriviamo prima una formula generale per l'inverso delle matrici partizionate e poi la applicheremo alla metrica.

Lascia due non singolari $n\times n$ matrici $A$ e $B$ essere partizionato come segue, \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} Permettere $A_{11}$ e $B_{11}$ essere $k\times k$ matrici con $k<n$. Assumeremo anche,\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} Ora se $B=A^{-1}$, quindi troveremo le matrici dei componenti di $B$ in termini di matrici componenti di $A$. Abbiamo,\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} Questa relazione di matrice si riduce a, \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} Da (2) e (3) abbiamo, \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} Sostituendoli in (1) e (4), otteniamo, \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} Quindi, \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} Ora sostituendoli in (2) e (3), otteniamo, \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} Perciò, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} Per il nostro scopo sarebbe conveniente espandere, $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$in termini di identità della matrice di Woodbury . Innanzitutto, deriviamo l'identità. Nota che,\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} Ciò implica, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}dato che esistono tutti gli inversi richiesti! Poi,\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} Quindi, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}L'identità di cui sopra è chiamata identità della matrice di Woodbury . Ora, identificazione$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ e $V=A_{12}$, noi abbiamo, \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} Pertanto, finalmente abbiamo, \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}Dopo aver derivato questa formula generale, torniamo al calcolo dell'inverso della metrica. Abbiamo,\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} Adesso, \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} Notiamo inoltre che, $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$. Poi,\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} e \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} e infine, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}Ecco! Godere!

5 spiridon_the_sun_rotator Aug 16 2020 at 10:25

Beh, forse c'è un modo più chiaro per farlo, senza indovinare. Partirei dalla definizione di matrice inversa:$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ O più concretamente: $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Scritto in componenti: $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ Ora, usando la simmetria di $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ in cambio di $\mu \leftrightarrow \nu$, si può vedere, che ci sono $ D(D+1) / 2$ equazioni lineari sullo stesso numero di sconosciuti, che in linea di principio possono essere risolti.

Farli direttamente sembra un compito noioso, quindi ci può essere un'ipotesi plausibile. Supponiamo che lo sapessimo$g^{00}$ è $-N^2$, in generale ansatz potrebbe essere $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$, quindi la prima equazione viene immediatamente risolta impostando: $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$Quindi si può guardare sulla seconda riga. Anche qui è naturale supporre che$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, dove $b^{\mu \nu}$è anche simmetrico. Questa sostituzione dà:$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ Anche qui, si può vedere, che il file $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ fa il lavoro.

1 haelewiin Aug 18 2020 at 21:14

Questa risposta estende leggermente quella di spiridon e riformula parti del setup di OP in un linguaggio leggermente diverso.

La metrica inversa $g^{-1}$, essendo un tensore, è indipendente dalle coordinate. Pertanto, un modo per determinare i componenti della metrica inversa in un particolare sistema di coordinate è derivarlo da una rappresentazione indipendente delle coordinate. Vale a dire, se la metrica inversa in una base$\{{\bf e}_a\}$ è dato da $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ quindi le sue componenti sono date dall'azione di $g^{-1}$ sulla doppia base $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ La decomposizione 3 + 1 dello spaziotempo è realizzata dalle superfici piane (realmente ipersuperfici) di un campo scalare $f$. Un'unità normale è$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$. Dall'unità normale$n^a$ si possono costruire proiettori paralleli ($P_\parallel$) e ortogonale ($P_\perp$) ad esso. Le loro componenti sono date dalle espressioni$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ Con questi proiettori è possibile determinare i componenti della metrica $g_{ab}$ in termini di foliazione ipersuperficiale: $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ Il campo tensore $h_{ab}$è la metrica indotta sulle ipersuperfici, poiché ogni contrazione di essa con l'unità normale svanisce. Allo stesso modo si può verificare che i componenti della metrica inversa soddisfino$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ Su una data ipersuperficie $f=t$, si introduce un insieme di coordinate di un parametro $y^\alpha$ che variano uniformemente in funzione di $t$. Questo genera un insieme di campi vettoriali$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$tangenziale all'ipersuperficie, che funge da mappa incorporante dall'ipersuperficie allo spaziotempo. In particolare, la metrica indotta può essere espressa in termini di queste nuove coordinate tramite la relazione$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$. In questo sistema di coordinate, il vettore del tempo$t^a$ generalmente non è ortogonale all'ipersuperficie, ma può essere scomposto in ortogonale $N$ e tangenziale $N^\alpha$ parti: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ Nota che $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ è doppio rispetto al vettore del tempo $t^a$. La sostituzione di \ eqref {decomposition} in \ eqref {inverse} quindi produce$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ I componenti della metrica inversa nel sistema di coordinate dato possono quindi essere trovati per contrazione: \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

Riferimenti:

  • E. Poisson (2007), A Relativist's Toolkit - capitoli 3, 4
  • E. Gourgoulhon (2012), 3 + 1 Formalism and Bases of Numerical Relativity - capitoli 2, 3