Misura esterna del prodotto cartesiano con intervallo

Question

(Si scusa in anticipo se questo è già stato chiesto, ma mi sono guardato intorno e non sono riuscito a trovare nulla che rispondesse alla mia domanda).

Permettere $\lambda_m^*$ denotano la misura esterna di Lebesgue $\mathbb{R}^m$, e $[a,b]$ essere un intervallo di $\mathbb{R}$. Se$A$ è un sottoinsieme (non necessariamente misurabile secondo Lebesgue) di $\mathbb{R}^n$, è possibile affermare che:

$\lambda_{n+1}^*(A \times [a,b]) = \lambda_n^*(A) (b - a)$?

È abbastanza semplice vedere che il lato sinistro è minore o uguale al lato destro (questo è vero per i prodotti cartesiani arbitrari) e che l'uguaglianza vale se $A$è Lebesgue misurabile. Ma per quanto riguarda il caso generale?

Non sono sicuro di quale sia il modo migliore per trovare una prova o un controesempio, quindi un aiuto sarebbe molto apprezzato.

Answer 1

Per comodità, imposta $n=1$ e lascia $\epsilon>0$. C'è un set aperto$A\times [a,b]\subseteq V'\in \mathbb R^2$ tale che $\lambda_{2}^*(V')\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])+\epsilon$. Adesso$V'=\bigcup_{i}U_i\times (\alpha_i,\beta_i)$ dove $U_i\subset \tau_{\mathbb R}$. Questo è solo perché$V'$è un'unione di elementi di base nella topologia del prodotto. In realtà, il file$U_i$ sono solo intervalli aperti, ma se $n>1,$saranno cubi aperti (o dischi). Ma$V:=\bigcup_{i}U_i\times [a,b]\subseteq V'$, e $A\times [a,b]\subseteq V$ così $\lambda_{2}^*(V)\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])+\epsilon.$

Ora, per definizione della misura esterna del prodotto $\lambda_{2}^*(V)=\lambda_{2}^*(\bigcup_{i}U_i\times [a,b])=\lambda_{1}^*(\bigcup_{i}U_i)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])$ così $\lambda_{1}^*(A)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])\le \lambda_{1}^*(\bigcup_{i}U_i)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])+\epsilon.$

Questo dimostra che $\lambda_{1}^*(A)\cdot \lambda_{1}^*([a,b])\le \lambda_{2}^*(A \times [a,b])$ e poiché hai dimostrato l'altra disuguaglianza, il risultato segue.