Mostra che esiste$x_0$tale che$p(x_0) < q(x_0)$per i polinomi dati

Question

Se$p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$e$q(x) = x^2+px+q$essere due polinomi a coefficienti reali. Supponiamo che esista un intervallo$(r,s)$di lunghezza maggiore di 2 tale che entrambi$p(x)$e$q(x)$sono negativi per$x \in (r,s)$ed entrambi sono positivi per$x<r$o$x>s$. Mostra che esiste$x_0$tale che$p(x_0) < q(x_0)$

Da$q(x)$è una quadratica, quindi$r$e$s$devono essere le radici.

ma,$r$e$s$sono anche le radici di$p(x)$Così,$q(x)$deve essere un fattore di$p(x)$, dunque

$p(x) = q(x)g(x)$

Dove$g(x)$è anche un quadratico. Ma questo è quanto ho potuto ottenere. Come procedi da qui? Come si fa a utilizzare la condizione$s-r > 2$?

Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.

Answer 1

$r$e$s$sono radici di entrambi$p(x)$e$q(x)$e quindi è anche la radice di$p(x) - q(x)$.

$q(x) = (x-r)(x-s)$dove$|r - s| \gt 2$

$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$

Assumiamo$p(x) - q(x)$è sempre non negativo ma date le sue radici lo sono$r$e$s$, è possibile solo se$f(x)$è negativo ogni volta che$q(x)$è e$f(x)$è positivo ogni volta$q(x)$è.

Ciò significa che ha doppie radici in$r$e$s$cioè$p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$

cioè$p(x) - q(x) = q(x)^2$

cioè$p(x) = q(x)(q(x)+1)$

cioè$1+q(x) \gt 0$come$p(x)$e$q(x)$hanno lo stesso segno$x$.

cioè$x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$

Questo non può essere vero come discriminante$(r-s)^2 - 4 \gt 0$come indicato nel problema. Quindi c'è un valore di x dove$p(x) \lt q(x)$.

[Nota: funzione$ax^2+bx+c$ha due radici reali se è discriminante$b^2-4ac \gt 0$]