Mostra che il set di potenza è un set.

Question

Mi sono imbattuto nella seguente proposta che l'autore vuole che il lettore provi:

Proposizione 1 . Per set arbitrario$X$, $\{A \mid A \subseteq X\}$ è un set.

Il mio tentativo (basato principalmente sui suggerimenti forniti dall'autore):

Per prima cosa affermerò l'assioma del potere presentato nel libro (che sembra essere diverso da quello che è scritto nell'articolo di wikipedia ):

Assioma del potere . Permettere$X$ e $Y$essere set. Allora esiste un insieme, indicato$Y^{X}$ , che consiste in tutte le funzioni di $X$ per $Y$ , così

$$f \in Y^{X} \iff \text{(f is a function with domain $X$ and range Y)}$$

Usando l'assioma del power set e l'assioma della sostituzione, possiamo costruire il seguente insieme

$$S = \{Z \mid Z = f^{-1}(\{1\}) \text{ for some } f \in \{0,1\}^X \}$$

Ora dobbiamo dimostrarlo per arbitrario $A \in S$, $A \in S$ iff $A \subseteq X$

$(\rightarrow)$ Prendine un po $A \in S$ e prendine un po ' $a \in A$. Da$A \in S$, ne esiste $f: X \rightarrow Y$ tale che $f^{-1}(\{1\}) = A$. Per definizione dell'immagine a ritroso, possiamo concludere che$a$ è nel dominio di $f$, questo è $a \in X$.

$(\leftarrow)$ Prendi un sottoinsieme arbitrario di $X$, dì $A$. Possiamo definire$f: X \rightarrow Y$ tale che $f(x) = 1$ iff $x \in A$, e $f(x) = 0$altrimenti. Lo vediamo$f \in \{0,1\}^{X}$ ed è vero che $A = f^{-1}(\{1\})$. Quindi$A \in S$.

Quindi $S = \{A \mid A \subseteq X\}$, che significa che $\{A \mid A \subseteq X\}$ è un set.

$\blacksquare$

---

Domanda 1.

È corretto?

Domanda 2.

Se la dimostrazione sopra è corretta, ci sono alternative più concise? Prima di vedere i suggerimenti dell'autore (cioè, dobbiamo usare l'assioma del power set e l'assioma della sostituzione), ho pensato che sarebbe stato sufficiente il seguente argomento: "Set è una raccolta di oggetti. Il sottoinsieme è un oggetto. Quindi una raccolta di sottoinsiemi di un insieme particolare è un insieme ".

Answer 1

Questa prova mi sembra a posto. Solo un paio di commenti su di esso:

1. A meno che non sia già stato dimostrato altrove nel libro che stai leggendo, aggiungerei una giustificazione sul motivo per cui gli elementi di $S$ sono set, quindi qualcosa di simile $$f^{-1}(\{1\}) = \big\{ x \in X : f(x) = 1\big\}$$ è un set per ciascuno $f \in \{0,1 \}^X$ dall'assioma di separazione.
2. Nel $(\to)$ direzione è necessario considerare due casi, vale a dire $A = \varnothing$ e $A \neq \varnothing$. Se$A = \varnothing$, quindi banalmente $A \subseteq X$; altrimenti c'è$a \in A$ (come tu dichiari), e il resto della dimostrazione segue.

Come accennato nei commenti, il punto di utilizzare tale formalismo per dimostrarlo per qualsiasi set $A$, $\mathcal P(A)$è anche un insieme (invece di argomentare come si pensava), viene da matematici che cercano di evitare di entrare in una posizione in cui certe raccolte di insiemi sono così "grandi" che sorgono contraddizioni all'interno del tuo sistema di assiomi, come quelle esemplificate in Cantor e I paradossi di Burali-Forti .