Mostrando per $g\in C^\infty$ quello $g^{(n)}(0)=0$ data una proprietà in via di estinzione

Question

Data una funzione infinitamente differenziabile $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con la proprietà che per ogni indice $n$ ci sono numeri positivi $c_{n}$ e $\delta_{n}$ tale che

$$|g(x)| \leq c_{n}|x|^{n} \quad \text{if} \quad |x|< \delta_{n}$$

Dimostralo per ogni numero naturale $n,g^{(n)}(0)=0$

Il mio tentativo:

Prendendo $x=\frac{1}{k}$ stesso, otteniamo $$\left|\frac{g(\frac{1}{k})}{\frac{1}{k}}\right| \leq \frac{c_n}{k^{n-1}}$$ ogni volta $1/k < \delta_n,~n \geq2$. Adesso molla$k \rightarrow \infty $ ottenere $g'(0)=0$. Ma per quanto riguarda i derivati ​​superiori di$g$ a $0$?

Answer 1

Suggerimento: supponi $g''(0)>0$ Allora esistono $a, \delta >0$ tale che $g''(x)\geq a$ per $0 < x <\delta$. Da MVT questo dà$g'(x) \geq ax$ per $0 < x <\delta$ e $g(x) \geq ax^{2 }$ per $0 < x <\delta$da un'altra applicazione di MVT. Ma questo contraddice l'ipotesi:$|g(x)| \leq c_3|x|^{3}$ per $|x| <\delta_3$. Allo stesso modo,$g''(0)<0$porta a una contraddizione. I derivati ​​di ordine superiore possono essere gestiti in modo simile utilizzando l'induzione.

Answer 2

Ciò deriva dall'uso del teorema di Taylor: scriviamo $a\lesssim_n b$ Se $|a|\le C_n |b|$ per qualche costante $C_n$ a seconda di $n$. Per ciascuno$n$, come $g\in C^{n+1}$, abbiamo per $|x|\lesssim_n 1$, $$ \left |g(x) - \sum_{k=0}^n \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n \right| \lesssim_n |x|^{n+1}. \tag{Taylor}\label{*}$$ Il risultato è ovviamente vero per $n=0$. Per$n=1$, \ eqref {*} restituisce $$ |g(x) - g'(0)x| \lesssim |x|^2$$ L'assunto dato è $$|x| \lesssim_k 1 \implies |g(x)|\lesssim_k |x|^k \tag{assumption}\label{**}$$ Per $k=2$, nella regione di $x$ dove valgono entrambe le disuguaglianze, otteniamo $$ |g'(0)| |x| \le |g(x) - g'(0)x| + |g(x)| \lesssim |x|^2 $$ così $g'(0)=0$.

In generale: supponiamo che il risultato sia mantenuto per tutti i derivati ​​fino a $(n-1)$esimo. Quindi \ eqref {*} diventa$$ |g(x) - g^{(n)}(0)x^n/n!| \lesssim_n |x|^{n+1}$$ e \ eqref {**} con $k=n+1$ dà $$ |g^{(n)}(0)| |x|^n/n! \le |g(x) - g^{(n)}(0)x/n!| + |g(x)| \lesssim_n |x|^{n+1} $$ così $g^{(n)}(0)=0$.