Necessità di provare certi risultati ovvi e banali nella trigonometria?
Attualmente sto facendo trigonometria del secondo anno delle superiori, ma questo è solo qualcosa che mi è venuto in mente.
La figura seguente mostra un triangolo ad angolo retto $ABC$, dove $\angle A = \alpha$, $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$ o $90^\circ$.
Ora, nella trigonometria introduttiva, le funzioni trigonometriche di un angolo sono definite come rapporti o lati di un triangolo rettangolo. Per esempio :$\sin\alpha = \dfrac{BC}{AC}$.
Nel libro di testo da cui ho imparato la trigonometria, questo era il contenuto delle prime pagine:
Il primo esempio è stato il seguente:
Ti vengono forniti due triangoli. Lascia che quei triangoli siano$XYZ$ e $PQR$. Entrambi questi triangoli sono triangoli ad angolo retto.$\angle Y = \angle Q = 90^\circ$. Anche,$\angle X = \angle P$. Lascia che questi due angoli siano uguali a$\varphi$. Adesso,$XZ = 5 \text{ units}$, $YZ = 3 \text{ units}$ e $PR = 10 \text{ units}$. Trova$QR$.
La soluzione era la seguente: $$\sin\varphi = \dfrac{\text{Perpendicular}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{3}{5} \text{, obtained from } \Delta XYZ$$ $$\text{From }\Delta PQR \text{, } \sin\varphi = \dfrac{QR}{10}$$ $$\therefore \sin\varphi ~ \dfrac{3}{5} = \dfrac{QR}{10} \implies QR = \dfrac{10 \cdot 3}{5} = 6 \text{ units}$$
Penso che prima di questo ,. la seguente dichiarazione avrebbe dovuto essere dimostrata:
I rapporti trigonometrici di un angolo sono unici e non dipendono dal triangolo scelto.
Non credo che questa soluzione sarebbe valida prima di provare che il seno di $\varphi$ottenuto da entrambi i triangoli è unico. L'affermazione che ho menzionato sopra può essere facilmente dimostrata usando la somiglianza, ma quello che voglio chiedere in questa domanda è "Le affermazioni come questa, che si presume siano ovvie e banali, dovrebbero essere dimostrate prima di tentare domande come l'esempio che ho dato e soluzione a questo esempio essere resa non valida se questa affermazione non è stata provata in anticipo? "
Grazie!
Risposte
Prima di introdurre le funzioni trigonometriche la classe si occuperà di congruenza e somiglianza. I triangoli congruenti hanno lati uguali e angoli uguali e triangoli simili hanno angoli uguali, mentre i lati sono scalati dallo stesso fattore$>0$. Quando gli alunni accettano questi fatti non c'è problema di unicità di$\sin\alpha$ quando $0\leq\alpha\leq{\pi\over2}$.
Il problema principale ovviamente è la dipendenza "segreta" tra le lunghezze dei lati e gli angoli. Questa dipendenza non è affrontata dalla geometria euclidea assiomatica.