Negazione di "se A allora B" (come dimostrare che "se A allora B" è falso)
So che questo argomento è stato discusso in precedenza, ma non sono ancora riuscito a trovare una risposta alla mia particolare domanda.
So che la negazione di "Se A allora B" è "A e NON B".
Ma volevo qualche chiarimento e cosa determina vero / falso per l'affermazione A e NON B.
Ad esempio, supponiamo che l'affermazione "se A allora B" sia vera. Quindi, a quanto mi risulta, ne consegue che "A e NON B" deve essere sempre falso.
Tuttavia, supponiamo che l'affermazione "se A allora B" sia falsa. Allora l'affermazione "A e NON B" sarebbe sempre vera? Oppure c'è almeno un caso in cui "A e NON B" è vero?
Solo per rendere la mia domanda ancora più chiara, se volessi dimostrare che "se A allora B" fosse effettivamente falso, dovrei mostrare che "A e NON B" è sempre vero, o è sufficiente mostrare solo un caso è vero?
Grazie!
Risposte
Ad esempio, supponiamo che l'affermazione "se A allora B" sia vera. Quindi, a quanto mi risulta, ne consegue che "A e NON B" deve essere sempre falso.
Essere vero è diverso dall'essere una tautologia, quindi non ne consegue che "A e NON B" debba essere sempre falso. Supponiamo invece che "se A allora B" sia una tautologia, ciò implica che la sua negazione deve essere sempre falsa, cioè una contraddizione.
Eidt: È corretto se intendi "A e NON B" sii sempre falso in quei casi in cui "se A allora B" è vero.
Tuttavia, supponiamo che l'affermazione "se A allora B" sia falsa. Allora l'affermazione "A e NON B" sarebbe sempre vera? Oppure c'è almeno un caso in cui "A e NON B" è vero?
Se sappiamo che "se A allora B" è falso in alcuni casi fissi, allora "A e NON B" deve essere vero in questi casi, e se questi casi copre tutti i casi possibili, allora sì che
$$\text{($'$A and NOT B$'$ always be true) hold, i.e. this would be a tautology}$$
Tuttavia, quando diciamo "se A allora B" è falso, normalmente significa che questo è falso in un caso specifico, diciamo il caso C. Questo vale there is at least one case where "A and NOT B" is true. Sii specifico, perché è vero nel caso C.
Solo per rendere la mia domanda ancora più chiara, se volessi dimostrare che "se A allora B" fosse effettivamente falso, dovrei mostrare che "A e NON B" è sempre vero, o è sufficiente mostrare solo un caso è vero?
Se vogliamo dimostrare che "se A allora B" è effettivamente falso in qualche caso C, allora è sufficiente dimostrare che nel caso C "A e NON B" è vero.
Per lo stesso motivo, se vogliamo dimostrare che "se A allora B" è sempre falso, allora dobbiamo dimostrare che "A e NON B" è sempre vero.
Diamo un'occhiata alla tabella della verità di $A \rightarrow B$, noi abbiamo $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \hline \end{array} $$
L'unico caso da ottenere $False$ il valore è quando $A$ è $True$ e $B$ è $False$. Quindi per ottenere questo risultato devi solo mostrarlo$B$ è $False$. Spero possa aiutare
Ecco la tabella della verità per $(\neg(A\to B)\to (A \land \neg B))$:
Come puoi vedere, è sempre vero.
L'implicazione logica è spesso definita come:
$A\to B~~\equiv ~~ \neg (A \land \neg B)$
Questa equivalenza può anche essere formalmente dimostrata dai primi principi utilizzando una forma di deduzione naturale:
