Norma ideale negli ordini

Question

Permettere $\overline{T}$ essere un anello Dedekind tale che $\overline{T}/\overline{I}$ è finito per ogni ideale diverso da zero $\overline{I}$ di $\overline{T}$. Permettere$T$ essere un subring di $\overline{T}$ con lo stesso anello totale di frazioni (cioè un ordine).

Permettere $I$ essere un ideale di $T$ e lascia $\overline{I} = I\overline{T}$. La norma $N_T(I)$ di $I$ è definito come la cardinalità di $T/I$.

Domanda: c'è una formula relativa$N_T(I)$ e $N_{\overline{T}}(\overline{I})$?

Ad esempio, sembra plausibile che la discrepanza sia misurata da qualche gruppo "tor".

Osservazioni:

• Se $I$ è proiettiva allora $N_T(I)$ e $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ sono uguali.
• La localizzazione riduce il problema al caso in cui $T$ è locale (e $\overline{T}$ è semi-locale) ed entrambi $I$ e il conduttore di $T$ sono ideali adeguati.
• (Grazie a Luc Guyot) Se $T$è un anello di Basso ($\leftrightarrow$ ogni anello intermedio $T \subset R \subset \overline{T}$ è Gorenstein $\leftrightarrow$ ogni ideale è generato da due elementi), e $T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, quindi da [2, Proposizione 5.8] $I$è proiettiva. Ne consegue che$N_T(I)$ e $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ sono uguali (dalla prima osservazione).
• (generalizzazione della terza osservazione) se $T$è un dominio integrale di Gorenstein e$T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, poi $I$è proiettiva. Ciò deriva dalla combinazione del Teorema 6.2 (4) con la Proposizione 7.2 di [1]. Ne consegue che$N_T(I)$ e $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ sono uguali (dalla prima osservazione).

[1] H. Bass, "Sull'ubiquità degli anelli Gorenstein", 1963.

[2] L. Levy e R. Wiegand, "comportamento simile a Dedekind degli anelli con ideali 2 generati", 1985.

Answer 1

Inizierò con un'osservazione generale che sarà illustrata da un calcolo in un ordine arbitrario di campo numerico quadratico.

Se $\overline{I}$ contratti a $I$, cioè, se $\overline{I} \cap R = I$, quindi l'inclusione $R \rightarrow \overline{R}$ induce una iniezione $R$-omomorfismo del modulo $R/I \rightarrow \overline{R}/\overline{I}$. Di conseguenza,$N_R(I)$ divide $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ e in particolare abbiamo $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$. Se per esempio$I$ è un ideale primo, quindi $N_R(I)$ divide $N_{\overline{R}}(\overline{I})$.

La domanda di fondo a cui non riesco a rispondere è:

Domanda. È sempre vero che$N_R(I)$ divide $N_{\overline{R}}(\overline{I})$, o almeno quello $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$?

Modificare. La risposta OP contiene una prova che$N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$ vale per ogni ideale diverso da zero di $R$.

Non affronterò la domanda di cui sopra. Invece, introdurrò una condizione$R$ sotto il quale $N_R(I)$ divide $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ per ogni ideale diverso da zero $I$ di $R$.

Proposizione. Se un ideale diverso da zero$I$ di $R$ è proiettiva sul suo anello di moltiplicatori $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \overline{R} \, \vert \, rI \subseteq I\}$, Poi abbiamo $$ N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert. $$

Nota a margine. quello$\varrho(I) = \{ r \in K \, \vert \, rI \subseteq I\}$ dove $K$ denota il campo delle frazioni di $R$, da $R$ è noetheriano.

Lemma 1 (rivendicazione di OP) . Se$I$ è un ideale invertibile di $R$ poi $N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I)$.

Prova. Primo, prova l'affermazione per un ideale principale diverso da zero$I$. Quindi decomponi il file$R$-modulo di lunghezza finita $\overline{R}/\overline{I}$ come somma diretta delle sue localizzazioni rispetto agli ideali massimi di $R$[4, Teorema 2.13]. Fai lo stesso per$R/I$ e confrontare le cardinalità degli addendi.

Prova della proposta. Per il Lemma 1, abbiamo$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_{\varrho(I)}(I)$. Quindi$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = [\varrho(I) : R][R: I] = \vert \varrho(I)/R\vert N_R(I)$.

Nota che se $R$ è un ordine i cui ideali sono due generati (ad esempio, un ordine in un campo quadratico o un ordine il cui discriminante è libero dalla quarta potenza [2, Teorema 3.6]), quindi ogni ideale diverso da zero di $R$soddisfa l'ipotesi della proposizione precedente, vedere ad esempio [1], [2] e Teorema 4.1, Corollari 4.3 e 4.4 delle note di Keith Conrad . Il PO discute risultati simili nelle sue osservazioni e nella sua risposta.

Permettere $m$essere un intero razionale privo di quadrati. Prepariamo$K \Doteq \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ e denotare con $\mathcal{O}(K)$ l'anello degli interi del campo quadratico $K$.

Reclamo sciolto. Dato un ordine$R$ di $K$ e un ideale $I \subseteq R$, calcoleremo $N_{\mathcal{O}(K)}(I\mathcal{O}(K))$ come una funzione di $N_R(I)$ e di una forma quadratica binaria associata a $I$.

Per fare ciò, introduciamo alcune notazioni e definizioni.

Ambientazione $$\omega = \left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{m} & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ \frac{1 + \sqrt{m}}{2} & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4, \\ \end{array}\right. $$ noi abbiamo $$\mathcal{O}(K) = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega$$ e qualsiasi ordine di $K$ è della forma $\mathcal{O}_f(K) \Doteq \mathbb{Z} + \mathbb{Z} f \omega$ per qualche intero razionale $f > 0$[2, Lemma 6.1]. Inoltre, l'inclusione$\mathcal{O}_f(K) \subseteq \mathcal{O}_{f'}(K)$ è vero se e solo se $f'$ divide $f$. Se$I$ è un ideale di $\mathcal{O}_f(K)$, poi il suo anello di moltiplicatori $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \mathcal{O}(K) \, \vert \, rI \subseteq I\}$ è l'ordine più piccolo $\mathcal{O}$ di $K$ tale che $I$ è proiettiva, equivalentemente invertibile, come ideale di $\mathcal{O}$[2, Proposizione 5.8]. Cerchiamo di aggiustare$f > 0$ e impostare $$R \Doteq \mathcal{O}_f(K), \quad \overline{R} \Doteq \mathcal{O}(K).$$

Un ideale $I$ di $R$si dice che sia primitivo se non può essere scritto come$I = eJ$ un numero intero razionale $e$ e qualche ideale $J$ di $R$.

Lo strumento principale è lo Standard Basis Lemma [5, Lemma 6.2 e sua dimostrazione].

Lemma 2. Let$I$ essere un ideale diverso da zero di $R$. Allora esistono interi razionali$a, e > 0$ e $d \ge 0$ tale che $-a/2 \le d < a/2$, $e$ divide entrambi $a$ e $d$ e noi abbiamo $$ I = \mathbb{Z} a + \mathbb{Z}(d + e f \omega). $$ I numeri interi $a, d$ e $e$ sono determinati in modo univoco da $I$. abbiamo$\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$ e il numero intero $ae$ è uguale alla norma $N_R(I) = \vert R /I \vert$ di $I$. L'ideale$I$ è primitivo se e solo se $e = 1$.

Nota che, da allora $\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$, il numero intero razionale $a$ divide $N_{K/\mathbb{Q}}(d + e f \omega)$. Chiamiamo le coppie generatrici$(a, d + ef \omega)$la base standard di$I$. Associamoci a$I$ la forma quadratica binaria $q_I$ definito da $$q_I(x, y) = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(xa + y(d + ef\omega))}{N_R(I)}.$$

Poi abbiamo $$eq_I(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$$ con $$b = Tr_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega) \text { and } c = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega)}{a}.$$Definiamo il contenuto$c(q_I)$ di $q_I$ come il massimo comune divisore dei suoi coefficienti, cioè $$c(q_I) \Doteq \frac{\gcd(a, b, c)}{e}.$$

Nota. abbiamo$c(q_I) = \frac{\gcd(a, d, ef)}{e} = \frac{f}{f'} = \vert \varrho(I) / R \vert$ dove $f'$ è il divisore di $f$ tale che $\varrho(I) = \mathcal{O}_{f'}$.

Richiesta. Permettere$I$ essere un ideale diverso da zero di $R$. Poi abbiamo$$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert \text{ with } \vert \varrho(I)/R \vert = c(q_I).$$

Prova. Da$N_R(xI) = N_R(Rx) N_R(I)$ e $N_R(Rx) = N_{\overline{R}}(\overline{R}x) = \vert N_{K/\mathbb{Q}}(x) \vert$ per ogni $x \in R \setminus \{0\}$, possiamo presumere, senza perdita di generalità, che $I$ è primitivo, cioè $e = 1$. Ne consegue immediatamente dalle definizioni che$$\overline{I} = \overline{R} I = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}a \omega + \mathbb{Z}(d + f \omega) + \mathbb{Z}v$$ dove
$$v = \left\{ \begin{array}{cc} f \omega^2 + d \omega & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ f \frac{m - 1}{4} + (d + f) \omega & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4. \\ \end{array}\right.$$Ora è sufficiente calcolare la forma normale di Smith $\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ della matrice $A \Doteq \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ d & f \\ v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ dove $(v_1, v_2)$ è la matrice di $v$ con rispetto al $\mathbb{Z}$-base $(1, \omega)$ di $\overline{R}$. Il coefficiente$d_1$ è il massimo comune divisore dei coefficienti di $A$ ed è facilmente visibile $\gcd(a, d, f) = \gcd(a, b, c)$. Il coefficiente$d_2$ è il massimo comune divisore di $2 \times 2$ minori di $A$ diviso per $d_1$ ed è facilmente visibile $\frac{a \gcd(c(q_I), q_I(0, 1))}{d_1} = \frac{a c(q_I)}{d_1}$. Così$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = d_1 d_2$ ha la forma desiderata.

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[1] J. Sally e W. Vasconcelos, "Stable rings", 1974.
[2] C. Greither, "On the two generator problem for the ideal of one-dimension ring", 1982.
[3] L. Levy e R. Wiegand, "comportamento simile a Dedekind degli anelli con$2$-generated ideali ", 1985.
[4] D. Eisenbud," Commutative algreba with a view into algebraic geometry ", 1995.
[5] T. Ibukiyama e M. Kaneko," Quadratic Forms and Ideal Theory of Quadratic Fields ", 2014 .

Answer 2

Sto registrando a beneficio degli altri ciò che, per quanto ne so, è la piena portata di ciò che è noto sul problema generale. Luc Guyot ha fornito una risposta simpatica ed esplicita al caso degli ordini quadratici.

Non contrassegno questo post come "la risposta" poiché la domanda originale non ha ancora ricevuto risposta.

Lascia che la discrepanza di a$T$-ideale $I$ essere definito come $ds(I) = N_{\overline{T}}(\overline{I})/N_T(I)$ (definizione non standard).

Quando lo fa $ds(I) = 1$?

Il seguente teorema è lo strumento principale dell'articolo [1]. L'istruzione utilizza la notazione dell'indice del modulo di [2].

Teorema [1; Teorema 1]:

1. $[\overline{T}:\overline{I}] \subset [T:I]$.
2. $[\overline{T}:\overline{I^{-1}}] \subset [I:T]$.
3. $[{T}:{I^{-1}}] \subset [\overline{I}:\overline{T}]$.

Inoltre, i seguenti sono equivalenti:

• Qualsiasi relazione di sottoinsieme tra (1), (2), (3) è un'uguaglianza.
• Tutte le relazioni di sottoinsieme tra (1), (2), (3) sono uguaglianze.
• $I$ è invertibile.

Questo teorema ha i seguenti corollari per la "discrepanza". Ricorda che il diverso di$T$ è definito essere $\mathfrak D_{T} = (T^\vee)^{-1}$ dove $T^\vee$ è il duale di $T$ per il modulo traccia.

Corollario :$ds(I) \geq 1$ con uguaglianza se e solo se $I$ è invertibile.

Corollario : i seguenti sono equivalenti:

• La discrepanza di $\mathfrak D_{T}$ è $1$.
• Per ogni ideale $I$ di $T$, $ds(I) = 1$ se e solo se $T = (I:I)$.
• $T$ è Gorenstein.

Tutto in questi corollari segue immediatamente dal teorema tranne il secondo punto del secondo corollario che segue dalla ben nota equivalenza $T=(I:I) \iff I \text{ invertible}$ quando $T$ è Gorenstein (cfr. eg [3; Proposizione 5.8] o [4; Proposizione 2.7]).

Cassa quadratica

[Seguendo la notazione nella risposta di Luc Guyot]

Usando i corollari di cui sopra, rivisitiamo il caso quadratico. La discrepanza è invariante rispetto alle omotee e quindi possiamo assumere l'ideale$I$ è primitivo ($e = 1$). Di [5; Lemma 6.5], l'ideale$I$ soddisfa $R = (I:I)$ se e solo se $\gcd(a,b,c) = 1$. In effetti, la formula per la discrepanza nella risposta di Luc Guyot è precisamente$\gcd(a,b,c)$. (Secondo l'osservazione nella risposta di Luc Guyot, abbiamo anche$ds(I) = f/f'$ dove $f$ è il conduttore di $T$ e $f'$ è il conduttore di $(I:I)$.) Così la formula $ds(I) = c(q_I)$ è coerente con il secondo corollario.

Limite superiore

Deriveremo un limite superiore per $ds(I)$ che è indipendente da $I$. presumo che$T$è un dominio per semplicità. Possiamo supporre che$T \neq \overline{T}$ e impostare $S = \overline{T}$. Permettere$\mathfrak f$ denotano il conduttore di $T$.

Limite superiore : per qualsiasi T-frazionale ideale$I$, $ds(I) \leq |S/T||S/\mathfrak f|.$

Due $T$- gli ideali frazionari sono dello stesso genere se sono localmente isomorfi; in modo equivalente, esiste un T-ideale invertibile che moltiplica un ideale nell'altro.

Affermazione : qualsiasi$T$-ideale frazionario $I$ è nello stesso genere di a $T$-ideale frazionario $J$ tale che $\mathfrak f \subset J \subset S.$

Prova: Let $P$ essere un ideale primo di $T$ e lascia $S_P$ denotano la chiusura integrale di $T$(chiusura integrale commuta con localizzazione). È sufficiente costruire un file$T_P$-ideale frazionario che è isomorfo a $I_P$ tale che $\mathfrak f_P \subset J_P \subset T_P$ dove il pedice denota la tensorizzazione con $T_P$. $S_P$è un prodotto finito di anelli Dedekind locali, quindi è un PID. Quindi$I_PS_P = \alpha S_P$ per alcuni $\alpha$ nel $Quot(T)$. Permettere$J_P = \alpha^{-1}I_P$. Poi$J_P \subset S_P$, ma anche $$J_P \supset J_P \mathfrak f_P = J_P S_P \mathfrak f_P = \mathfrak f_P.$$

Affermazione : la discrepanza$ds(I)$ è costante sui generi.

Dimostrazione: ciò è dimostrato localizzando e utilizzando questo ideale invertibile di $T$ è localmente principale (quest'ultimo fatto segue da [5; Proposizione 2.3]).

Mettendo insieme queste affermazioni, ce l'abbiamo per $I$ qualunque $T$-ideale frazionario, $ds(I) = ds(J)$ per alcuni $T$-ideale frazionario $J$ tale che $\mathfrak f \subset J \subset S$. Da [1; Teorema 1],$|T/J| \leq |S/SJ|$. Abbiamo anche$S\mathfrak f = \mathfrak f \subset SJ \subset S$, e così $|S/SJ| \leq |S/\mathfrak f|$. Scrivi$M' = M/\mathfrak f$ per qualsiasi modulo contenente $\mathfrak f$. Mettendo insieme le disuguaglianze abbiamo

$$ds(I) = |S/SJ|/|T/J| \leq |S/\mathfrak f|/ |T/J| = |S'|/(|T'|/|J'|) = |S/T| |J/\mathfrak f| .$$

L'ultimo termine è delimitato dall'alto da $|S/T| |S/\mathfrak f|$.

Conclusione

La funzione di discrepanza soddisfa la disuguaglianza, $1 \leq ds(I) \leq |\overline{T}/T||\overline{T}/\mathfrak f|$, per ogni $T$-ideale frazionario $I$, e ammette una formula esplicita e naturale in termini di conduttori nel caso quadratico. Tuttavia sembra non essere noto se alla funzione di discrepanza possa essere data una "forma chiusa" in generale (ad esempio, un'espressione in termini di conduttore di$T$, i diversi o discriminanti di $T$ e $\overline{T}$, I gruppi Ext o Tor $T$ o $\overline{T}$).

Riferimenti:

[1] I. Del Corso, R. Dvornicich, Relations between Discriminant, Different, and Conductor of an Order , 2000.

[2] A. Fröhlich, Campi locali , da JWS Cassels e A. Fröhlich, Teoria algebrica dei numeri , 1967.

[3] L. Levy e R. Wiegand, comportamento simile a Dedekind degli anelli con ideali 2 generati , 1985.

[4] J. Buchmann e HW Lenstra, Jr., Anelli approssimativi di numeri interi nei campi numerici , 1994.

[5] VM Galkin, $\zeta$-funzioni di alcuni anelli unidimensionali , 1973.