Norma sulla somma degli spazi delle funzioni

Question

Qual è la convenzione per la norma dotata su una somma di spazi$X+Y$, così come sull'intersezione degli spazi$X\cap Y$?

Sto leggendo un articolo in cui gli autori usano una somma di spazi funzionali senza scrivere esplicitamente la norma e non fanno ulteriori commenti.

Penso che forse la norma più plausibile per$X\cap Y$è$\|f\|_X +\|f\|_Y$con la norma per$X+Y$poi essere$\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$.

Mi scuso se questa domanda è un duplicato, nel qual caso sarò felice di eliminarla. Non sono riuscito a trovare una domanda simile su Math StackExchange.

Answer 1

https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space

Supponiamo che$X$e$Y$incorporare continuamente in uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff$Z$(affinché$X\cap Y$e$X + Y$ha senso). Le norme solitamente utilizzate sono:$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$La norma per$X \cap Y$ha senso ed è equivalente alla norma che hai suggerito. Per$X+Y$, il minimo delle due norme purtroppo non è una norma.

Invece, pensa allo spazio$X \oplus Y$con la norma$\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$. Guarda il sottospazio$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$. Quindi$X + Y$è isomorfo allo spazio quoziente$(X \oplus Y) / U$. Questo fornisce una rapida prova che$X + Y$dotato della suddetta norma è infatti uno spazio di Banach.