Notazione, descrizione dei componenti delle matrici

Aug 20 2020

Sto lavorando alla mia tesi di laurea e ho difficoltà a descrivere con precisione alcune matrici che sono messe insieme in modo strano. Volevo chiedere un aiuto per non fare errori qui.

In generale, la mia matrice ha le seguenti dimensioni

$$ \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{M \times 2+2J} $$

Questa matrice è composta da$2+2J$variabili o array con una lunghezza di$M$. Due variabili sono scalari a cui mi riferisco in tutta la mia tesi:

$$ R_d \in \mathbb{R}^{1}, \quad g \in \mathbb{R}^{1} $$

Tuttavia, altre due variabili stesse sono matrici con$J$variabili. Sono dati con:

$$ \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{J}, \quad \mathbf{q} \in \mathbb{R}^{J} $$

Ora vorrei descrivere matematicamente come$\mathbf{X}$è strutturato. Ho pensato che si potesse descrivere così:

$$ \mathbf{X} = [Rd\; g \; \mathbf{p}\; \mathbf{q} ] \in \mathbb{R}^{M \times 2+2J} $$

Non sono sicuro che sia matematicamente corretto poiché mi manca la prima dimensione nelle variabili membro. Esiste una notazione migliore per descrivere la struttura di$\mathbf{X}$? Cosa succede quando le dimensioni devono essere invertite? Suppongo che quando elencherò i membri tra parentesi quadre, ciò si riferirà alla prima dimensione$M$invece di$2 + 2J$.

Una descrizione alternativa potrebbe essere simile a questa:

$$ \mathbf{X} = [R_{d,m}\; g_m \; \mathbf{p}_m\; \mathbf{q}_m ] \in \mathbb{R}^{2+2J \times M} $$

insieme a$g_m \in \mathbb{R}^{M}$o$\mathbf{q}_m in \mathbb{R}^{M \times J}$. (Anche capovolto le dimensioni di$\mathbf{X}$.) Questa sarebbe una notazione più precisa?

Risposte

2 0-_-0 Aug 21 2020 at 05:36

Quello che stai descrivendo è comunemente indicato come una matrice a blocchi.$$ X = \bigg[ \begin{array}{c|c|c|c} P & Q & \mathbf{r} & \mathbf{g} \end{array} \bigg] $$con matrici$P\in{\mathbb{R}^{m\times j}}$e$Q\in\mathbb{R}^{m\times j}$, e vettori$r\in\mathbb{R}^m$, e$g\in\mathbb{R}^m$

Se stai scrivendo per un pubblico che non ha familiarità con questa notazione, potresti aggiungere il prolisso ma esplicito:

$$ X = \left[ \begin{array}{cccc|cccc|c|c} p_{11} &p_{12} &\cdots & p_{1j} & q_{11} &q_{12} &\cdots & q_{1j} & r_1 & g_1 \\ p_{21} &p_{22} &\cdots &p_{2j} & q_{21} &q_{22} &\cdots &q_{2j} & r_2 & g_2 \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{mj} & q_{m1} & q_{m2} & \cdots & q_{mj} & r_m & g_m \end{array} \right] $$

Per ulteriori esempi su come scrivere matrici a blocchi, vedere:https://wp.kntu.ac.ir/hadizadeh/pdf/latex/lesson_12[1].pdf