Numeri da$1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$sono scritti e due qualsiasi$x,y$sono presi e li sostituiamo$x,y$da solo$x+y+xy$
Questa è davvero una bella domanda! (Tutti hanno incontrato una domanda che li fa amare la matematica, questa è la mia :)
Scriviamo una serie di numeri$$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$
Ora possiamo scegliere due numeri qualsiasi$x$e$y$e sostituiamo questi due numeri con un solo numero$x+y+xy$
Questo processo viene ripetuto finché non rimane un solo numero, trova l'ultimo numero.
Questo mi ha appena sconcertato! Seriamente non ho idea di come procedere. Non è interessante che finiamo con lo stesso numero nonostante da dove iniziamo? Tutti i suggerimenti sono i benvenuti su come risolverlo
Risposte
Questa è una domanda invariante: immagina una funzione$f(x_1,...,x_m)$(dove$m$è un certo numero di argomenti e$x_i$sono tutti numeri reali) con la seguente proprietà:$f(x_1,...,x_m)$non cambia quando prendi due qualsiasi di questi$x_i,x_j$e sostituiscili con just$x_i+x_j+x_ix_j$.
Allora cosa succede? Se c'è solo un numero$N$sul tabellone rimasto dopo tutto quello, allora$f(x_1,...,x_m) = f(N)$, Così$N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$purché$f(x_1,...,x_m)$ha esattamente un'immagine preliminare.
Un suggerimento per questa funzione$f$viene da$(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, quindi qualcosa come : add$1$a tutti i numeri che hai e moltiplica questi risultati insieme?
È ovvio che una tale funzione fa il lavoro! In tal caso, dobbiamo aggiungere$1$a ciascuno dei numeri e moltiplicali tutti. È come moltiplicare$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, che è giusto$2011$.
Ora, qualunque sia l'ultimo numero sulla lavagna, uno più quello è$2011$, così è$2010$.
L'operazione$x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$sui numeri reali è associativo quindi il risultato non dipende dall'ordine dei passaggi ed è uguale a$$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$
Supponiamo che tu scelga$\frac1m$e$\frac1n$nel primo turno, sostituiscili con$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$
(notare che$x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)
Nel turno successivo, potresti scegliere due numeri$\frac1a$e$\frac1b$, e il numero sostituito apparirà come sopra, con$a,b$sostituzione$m,n$. Tuttavia, se scegli il nuovo numero ottenuto nel passaggio precedente, ad es$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$e uno dei numeri originali$\frac1a$, quindi li sostituisci con$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.
Compila i passaggi intermedi per mostrare per induzione che aspetto avrà il numero sostituito in qualsiasi passaggio$\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, in modo che la risposta finale sarà$$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.