Numero di estensioni quadratiche non tratteggiate di un campo numerico

Aug 20 2020

Esiste una formula generale per il numero di estensioni quadratiche non modificate di un campo numerico $K$?

quando $K$ è quadratico, questo è noto (dalla teoria del genere) per essere $2^{\omega(\Delta_K)-1}$, dove $\omega(n)$ denota il numero di fattori primi distinti di $n$ e $\Delta_K$ è il discriminante di $K$. Mi interessano i risultati per quando$K$ è di grado superiore.

Sembra che questo problema possa essere molto più difficile e forse è adiacente alla comprensione della doppia torsione del gruppo classe $\text{Cl}_K$(che sembra difficile quando$K$non è quadratico), ma sono abbastanza nuovo nella zona e potrei essere totalmente fuori base. C'è qualche speranza in un approccio più diretto?

Risposte

7 bean Aug 20 2020 at 17:21

La risposta sembra essere no.

  1. Il numero di estensioni quadratiche non modificate di $K$ è uguale al numero di sottogruppi indice-due del gruppo di classi ideali $\text{Cl}_K$ dalla teoria dei campi di classe.
  2. I due sottogruppi indice di $\text{Cl}_K$ corrispondono agli elementi diversi da zero di $\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
  3. $\#\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \#\text{Cl}_K[2]$ di Pontryagin duality, come mi è stato fatto notare da @RP_ e @abx nei commenti.
  4. Il problema di calcolare (o anche limitare) la dimensione di $\#\text{Cl}_K[2]$ quando $K$non è un'estensione quadratica sembra essere in fase di studio attivo e sembra essere un problema impegnativo in generale.