numero di parentesi vs numero di copertura

Question

Voglio solo ricontrollare se il lemma a pagina 9 di queste diapositive è corretto:http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf

Lemma:$N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $

Dimostrazione: Se$f$è nel$2\epsilon$- parentesi$[l,u]$, allora è nella palla di raggio$\epsilon$intorno a$(l+u)/2$.

Penso che ciò che la prova significhi è che, se un insieme di$2\epsilon$-coperchi staffe$\cal F$, allora questo insieme è anche un insieme di sfere di raggio$\epsilon$che può coprire$\cal F$. Poiché potrebbero esserci altri insiemi di sfere di raggio$\epsilon$che può coprire$\cal F$, il numero di copertura non è maggiore del numero di parentesi.

Non ho trovato la stessa conclusione in nessun libro di testo che riesco a trovare finora (non sono sicuro che sia perché questa conclusione è troppo banale), quindi non sono del tutto sicuro di dire se sia giusta o sbagliata. Sarei davvero grato se qualcuno potesse illuminarmi!!

Answer 1

La tua elaborazione è essenzialmente corretta, tranne per il fatto che le parentesi stesse non lo sono$\|\cdot\|$-palle.

Se$[l,u]$è un$2\epsilon$-parentesi, allora è contenuto nel file$\|\cdot\|$-palla di raggio$\epsilon$centrato a$(l+u)/2$, da$l \le f \le u$implica$$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$

Così una copertina di$2\epsilon$-le staffe possono essere sostituite da una copertura più grande$\epsilon$-$\|\cdot\|$-palle della stessa cardinalità.