Omomorfismo in un'unione di$R$-algebre.

Question

Si presume che tutti gli anelli/algebre che compaiono in questa domanda siano commutativi con unità e noetheriani.

Permettere$R$sii un anello, lascia$A, B$essere$R$-algebre, e let$(B_i)_{i \in I}$essere una famiglia di sub-$R$-algebre di$B$tale che$B = \bigcup_{i\in I} B_i$. Di recente mi sono imbattuto nella seguente affermazione (apparentemente banale):$$\mathrm{Hom}_{R-\mathrm{alg}}(A,B) \cong \bigcup_{i\in I} \mathrm{Hom}_{R-\mathrm{alg}}(A,B_i),$$dove$\cong$denota un isomorfismo di insiemi, cioè una biiezione.

Ora mi chiedo se questo sia effettivamente vero (e se sì, come provarlo). Immagino che potrebbe essere correlato al fatto che il$\mathrm{Hom}$-functor conserva i limiti in entrambi i suoi argomenti, ma non vedo quale "tipo" di limite dovrei considerare qui.

Qualsiasi aiuto è apprezzato!

Answer 1

Permettere$R=\mathbb{Q}$, e$A=B=\mathbb{R}$. Permettere$I=\mathbb{R}$e per$x\in I$permettere$$B_x=\mathbb{Q}[x].$$

Quindi$\mathbb{R}$è commutativo, noetheriano e ha unità. Anche$B=\bigcup_{x\in I} B_x$. Tuttavia$1_\mathbb{R}$non c'è$$\bigcup_{x\in I} \mathrm{Hom}_{R-\mathrm{alg}}(A,B_x).$$