Operatori di creazione e annichilazione in QFT
Come ho detto prima, non sono un esperto di QFT ma sto cercando di capire le basi della sua rigorosa formulazione.
Prendiamo il libro di Dimock , in cui vengono discusse le basi di QM e QFT. Se consideriamo, diciamo, due particelle, una che vive in uno spazio di Hilbert$\mathcal{H}_{1}$ e l'altro in un altro spazio di Hilbert $\mathcal{H}_{2}$, la descrizione dello stato del sistema a due particelle è data in termini di prodotto tensoriale $\mathcal{H}^{(2)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \mathcal{H}_{2}$. Certo, potremmo andare oltre e studiare un sistema$\mathcal{H}^{(N)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_{n}$. Se tutte le particelle sono identiche, allora$\mathcal{H}_{1}=\cdots = \mathcal{H}_{n} \equiv \mathcal{H}$ e dobbiamo tenere conto dei sottospazi simmetrici e antisimmetrici di $\mathcal{H}^{(N)}$, che corrispondono al fatto che le particelle possono essere bosoni o fermioni, rispettivamente. A questo punto, si definiscono operatori di simmetrizzazione e anti-simetrizzazione. Il passo successivo è considerare un sistema di un numero arbitrario di particelle. A questo punto, si definiscono gli spazi di Fock$\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$per bosoni e fermioni. Inoltre, si definiscono gli operatori di creazione e annichilazione$a(h)$ e $a^{\dagger}(h)$ sopra $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H})$.
Ora, per quanto ho capito, questa è tutta meccanica quantistica , non QFT. Tuttavia, queste idee sembrano trovare analoghi in QFT, e questo è il punto in cui mi confondo.
Nella sezione I.5 del libro di Feldman, Trubowitz e Knörrer c'è una rapida discussione sulla QFT (fermionica) e si afferma che, in questo contesto, gli operatori di creazione e annichilazione sono famiglie speciali$\{\varphi^{\dagger}(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ e $\{\varphi(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ su uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$. Questo è molto diverso dagli operatori di creazione e annientamento menzionati sopra. Ad esempio, queste ora sono famiglie di operatori indicizzate da$x$ e $\sigma$. Credo che questo sia un riflesso del fatto che siamo passati da QM a QFT. Ma qui sono davvero perso e non so quale sia la differenza tra queste due costruzioni e definizioni. Qualcuno mi può aiutare per favore? Mi interessa principalmente capire il secondo approccio, dal primo credo di aver capito (almeno sufficientemente bene). Se, inoltre, potessi suggerire qualche riferimento in cui queste idee di Feldman, Trubowitz e Knörrer vengono discusse in modo più dettagliato e con rigore, apprezzerei!
AGGIUNGI: Basandomi sul libro di Feldman, Trubowitz e Knörrer, mi sembra che la comprensione di questi oggetti (per essere più precisi, gli oggetti che descrivono brevemente nelle prime 2 pagine della sezione I.5) sia fondamentale per comprendere la formulazione di un mucchio di modelli QFT (almeno per i fermioni). Pertanto, apprezzerei se qualcuno potesse elaborare un po 'di più sulla struttura dietro questi operatori di creazione e annichilazione e le sue connessioni al caso quantistico che è necessario per comprendere il resto della discussione sul libro di FTK. In altre parole, penso di aver solo bisogno di capire meglio queste prime definizioni (e come sono collegate al solito caso quantistico che (mi sembra) di conoscere) per essere in grado di capire il resto del testo.
Risposte
La connessione può essere vista prendendo $H = L^2(\mathbb{R}^3)$nella prima spiegazione. Questo è lo spazio di Hilbert di una particella tridimensionale non relativistica, senza spin. Sommando direttamente i poteri tensoriali simmetrici (antisimmetrici) di$H$otteniamo lo spazio di Hilbert di un insieme di particelle tridimensionali bosoniche (fermioniche) non interagenti non relativistiche, senza spin, note come spazio di Fock. Il$n$th potenza tensoriale rappresenta gli stati in cui $n$ sono presenti particelle.
Ora abbiamo gli operatori "creazione" e "annientamento" che assumono stati nel file $n$th potenza del tensore nel $(n \pm 1)$st potere tensore. Per ogni stato$h$ nello spazio originale di Hilbert $H$ c'è un operatore di creazione con cui tensori $h$ e simmetrizza (antisimmetrizza), prendendo il $n$th potenza del tensore nel $(n+1)$st, e il suo aggiunto che va nella direzione opposta e rimuove un fattore tensore di $h$.
Nella letteratura fisica di solito si lavora con operatori di creazione / annientamento idealizzati per i quali lo stato $h$ è una funzione delta di Dirac immaginaria concentrata a un certo punto di $\mathbb{R}^3$. Questo è ciò che è descritto nella tua seconda spiegazione. Come è normale in fisica, lo spazio di Hilbert non è specificato, ma nel caso dei campi liberi corrisponde allo spazio di Fock nella prima spiegazione.
Lo spazio di Fock è inadeguato per modellare campi interagenti (anzi, qui le questioni matematiche diventano profonde e fondamentalmente irrisolte). Tuttavia, non è banale; per esempio, si possono studiare campi quantistici liberi su uno sfondo spazio-temporale curvo e derivare la radiazione di Hawking, l'effetto Unruh, ecc. La teoria quantistica dei campi nello spaziotempo curvo e la termodinamica dei buchi neri di Wald è una spiegazione eccellente e matematicamente rigorosa di questa impostazione.
In QFT l'intuizione è che si ha uno spazio di Hilbert separato in ogni punto dello spazio e si prende il loro prodotto tensoriale per ottenere lo spazio di Hilbert dell'intero campo. Ho indicato come, intuitivamente, lo spazio di Fock modella un "prodotto tensoriale misurabile" di una famiglia di oscillatori armonici (caso bosonico) o sistemi a due stati (caso fermionico) indicizzati da tutti i punti dello spazio nella mia risposta qui . Vedere la sezione 2.5 del mio libro Quantizzazione matematica per una spiegazione completa.
Disclaimer: non sono un fisico matematico.
Anche con uno spazio di Hilbert, vale a dire l' oscillatore armonico quantistico , puoi definire operatori di "creazione-annichilazione", tranne che in questo caso semplicemente aumentano o diminuiscono il livello di energia del sistema di particelle singole.
Ora, considera lo spazio Fock $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$ il modo in cui descrivi sopra: in realtà è un funtore, da qui il famigerato detto che la seconda quantizzazione è un funtore.
Qui si definiscono nuovamente i due operatori, ma li si reinterpreta come operatori ladder che, dallo stato fondamentale, creano e distruggono particelle. Formalmente si comportano molto come con l'oscillatore armonico giocattolo, e questa analogia è di vasta portata:
in pratica ti dice che il campo quantistico descritto dal funtore di Fock può essere "eccitato": le particelle sono eccitazioni del vuoto (infatti ci sono delle belle immagini di campi quantistici come insiemi (infiniti) di oscillatori armonici (accoppiati), vedi qui ).
Cosa c'entra questo con la seconda definizione? Se il campo quantistico crea e annichila le particelle, può farlo in ogni punto del tuo spazio ambientale . Da qui gli indici ...