Orientabilità di una sottovarietà che è un'immagine preliminare di una sottovarietà

Question

Sto leggendo Milnor & Stacheff, Characteristic Classes, Capitolo 18. C'è una breve rassegna di varietà lisce e c'è una dichiarazione seguente:

Supponiamo $f:M\to N$ è una mappa liscia tra varietà lisce, e supponiamo $f$ è trasversale a una sottovarietà $Y\subset N$ (così che $f^{-1}(Y)$ è una sottovarietà di $M$). Se$\nu^k$ è il normale pacchetto di $Y$ in $N$, quindi il pacchetto di induzione $f^{-1}(Y)$ a partire dal $\nu^k$ di $f$ può essere identificato con il normale bundle di $f^{-1}(Y)$ in $M$. In particolare, se$\nu^k$ è un bundle vettoriale orientato e if $M$ è una varietà orientata, quindi $f^{-1}(Y)$ è anche una varietà orientata.

Lo vedo (supponendo che $M,N$ sono Riemanniani) il normale fascio di $f^{-1}(Y)$ può essere identificato con il fascio indotto $f^*\nu^k$, ma non riesco a vedere come segue l'ultima affermazione. Mi manca un teorema elementare o qualcosa del genere?

Answer 1

Il punto è che una "differenza" di due fasci orientati è orientata. A livello di spazi vettoriali, se$W=V\oplus U$ possiamo dire che la base $b_V$ è orientato positivamente (per $W$) se combinato con una base orientata positivamente $b_U$ per $U$ si ottiene una base orientata positivamente $b_W=(b_V, b_U)$ per $W$ (puoi verificare che questo sia ben definito, fondamentalmente perché determinante di una matrice diagonale a blocchi è il prodotto delle determinanti dei due blocchi).

In un linguaggio più elaborato, $\Lambda^{\dim W} W \equiv \Lambda^{\dim V} V \otimes \Lambda^{\dim U} U $, in modo che l'orientamento di due qualsiasi degli spazi vettoriali (identificazione del potere esterno superiore con $\mathbb{R}$) produce l'orientamento del restante. Lo stesso vale quindi per i fasci, ripetendo questa stessa costruzione su ogni punto della base.

Nel tuo caso $W=TM$, $U=f^*\nu^k$, e $V=T f^{-1}(Y)$.

È necessario un avvertimento: si potrebbero inserire vari fattori di $(-1)^{\dim X}$ o $(-1)^{\dim X+1}$nelle formule di cui sopra. Scegliere i fattori "giusti" in un modo che renda le cose "piacevoli" a valle non è affatto banale. Quindi, mentre tutti saranno d'accordo$f^{-1}(Y)$ è orientabile, l'effettiva scelta di un orientamento può essere soggetta a convenzioni differenti.