Ottieni la somma di una sequenza dalla somma dei suoi termini dispari.

Question

Vorrei calcolare la somma $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ utilizzando la serie di Fourier di $f(x)=|x|$ al di sopra di $(-\pi,\pi)$. Coefficienti$b_k$ sono tutti $0$ perché $f$è anche. Facendo le cose di integrazione, ho ottenuto:$$ a_0 = \pi $$ e $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ per $k>0$. L'uguaglianza del Parseval dà:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ che dà $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ che semplifica a $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ che in pratica dice: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ qualche idea su come ottenere la somma da lì?

Answer 1

Osserva che quello che hai è quello $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Chiamando$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ ce l'hai $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ e finalmente hai $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ da cui $S=\frac {\pi^4}{90}$

Answer 2

Essenzialmente hai

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

Vuoi trovare

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

in altre parole, vuoi aggiungere

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

Factoring a ${\frac{1}{2^4}}$ sui rendimenti di cui sopra

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

Quindi, nel complesso, se chiami ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ hai

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

Ora puoi riorganizzare per ${S}$?