Pacchetto di linee sullo schema del prodotto
Permettere $k$ essere un campo, $X$ essere una varietà completa $k$, $V$ essere una sottovarietà aperta di $X$, $Y$ essere uno schema finito $k$. Supponiamo$L$ è un pacchetto di linee su $V\times Y$. Se$L|_{V\times\lbrace y\rbrace}$ si estende a un fascio di linee su $X\times\lbrace y\rbrace$ per ogni punto chiuso $y$ di $Y$, fa il raggruppamento di linee $L$ esteso a $X\times Y$?
E se si assume una condizione più forte, vale a dire per qualsiasi funtore $\phi\colon\operatorname{Pic}(V\times Y) \to \operatorname{Pic}(V)$ (Qui $\operatorname{Pic}$ denota i funtori di Picard), il fascio di linee $\phi(L)$ sopra $V$ si estende a $X$. Lo fa$L$ si estende a $X\times Y$?
Modificare: $X$ si presume che sia liscia, cioè una varietà completa liscia.
Risposte
Benvenuto nuovo collaboratore. Questo non è vero, anche se$X$è liscia. Un esempio permuta il ruolo di$X$ e $Y$ nel mio esempio precedente.
Permettere $X$ essere una curva di genere liscia, geometricamente connessa e proiettiva $g>0$. Permettere$f:X\to Y$ essere la normalizzazione di una curva nodale con un singolo nodo $p$ cioè un $k$-punto razionale. Per esempio,$Y$ potrebbe essere un piano nodale quartico, e $X$ potrebbe essere la normalizzazione (un genere $3$curva). Supponiamo che la prima immagine di$\{p\}$ nel $X$ è diviso, cioè $\{r',r''\}$ per $k$-punti razionali $r',r''$ di $X$.
Permettere $V$ essere il complemento aperto di $\{r',r''\}$ nel $X$. Indichiamo il morfismo del grafico della restrizione di$f$ per $V$ come segue, $$\Gamma:V\to V\times Y.$$ L'immagine di questo morfismo grafico è un primo divisore di Cartier in $V\times Y$. Denota da$L$ il covone invertibile $V\times Y$ associato a questo divisore di Cartier.
Il ritiro di questo divisore di Cartier a $V\times X$ si estende a un divisore di Cartier su $X\times X$. Ogni estensione di questo tipo è della forma$$D_{c',c''} = \underline{\Delta} + \text{pr}_1^*\left(c' \underline{r'} + c''\underline{r''}\right).$$
Per ciascuno di questi divisori Cartier estesi, le restrizioni sono finite $X\times \{r'\}$ e oltre $X\times \{r''\}$non sono razionalmente equivalenti. Anzi, se lo fossero, allora$\underline{r'}$ e $\underline{r''}$ sarebbe razionalmente equivalente, in modo che il genere $g$ è uguale a $0$. (Questo è stato il motivo per cui ho lavorato con curve morbide di genere positivo.) Da allora$X\times X$è liscio, l'omomorfismo dal gruppo delle classi di equivalenza razionale dei divisori di Cartier al gruppo Picard è un isomorfismo. Quindi, ogni fascio invertibile su$X\times X$ che estende il pullback di $L$ ha restrizioni non isomorfiche su $X\times\{r'\}$ e oltre $X\times\{r''\}$. Quindi ogni fascio invertibile esteso su$X\times X$non è isomorfo al pullback di un fascio invertibile su$X\times Y$.
Modifica . Nell'esempio sopra, per ogni copertina Zariski$Y'\to Y$, vale lo stesso risultato. Tuttavia, c'è una copertina étale$Y'\to Y$ tale che il covone invertibile si estende fino a $X\times Y'$. Per un esempio in cui non esiste tale estensione anche dopo una copertina étale, invece di lasciare$X\to Y$sia la normalizzazione di una curva nodale, sia la normalizzazione di una curva cuspidale. Quindi la stessa costruzione dà un fascio invertibile$L$ sopra $V\times Y$ tale che per ogni copertina étale $Y'\to Y$, non vi è estensione del fascio invertibile a $X\times Y'$.