Palle aperte sotto la lunghezza dell'arco e sotto la lunghezza della corda

Question

Al momento sono bloccato a dimostrarlo, per una palla aperta $S^1$ di raggio $\epsilon$ tale che la palla è definita sotto la metrica della lunghezza dell'arco tra due punti, esiste a $\delta$ tale che una palla aperta di raggio $\delta$ sotto la lunghezza della corda metrica (o distanza euclidea) tra due punti è contenuta all'interno.

In effetti, ho provato a lasciarlo $\delta = \sqrt{2-2cos(\epsilon)}$ dalla legge del coseno e invece di ottenere $B_\delta \subseteq B_\epsilon$, Ho fatto il contrario. Sembra che ci abbia sbagliato un po 'di logica al suo interno ...

modifica: l'ho dimostrato

$d_a(x,y)<\epsilon \Rightarrow \sqrt{2-2cos(d_a(x,y))} <\delta $

dove $\sqrt{2-2cos(d_2(x,y))} = d_2(x,y)$ tale che qualsiasi elemento nella palla sotto $d_a$ è dentro $d_2$, che lo fa apparire $B_\epsilon \subseteq B_\delta$. $d_a$ rappresenta l'arco metrico, $d_2$ la metrica degli accordi.

aggiornamento: ho provato $\delta = 2sin(\epsilon/2)$ e $d_2(x,y)<\delta \Rightarrow 2sin^{-1}(d_2(x,y)/2) < \epsilon$, dove $2sin^{-1}(d_2(x,y)/2) = d_a(x,y)$. È un argomento abbastanza forte per provare questa affermazione?

Answer 1

Nota che per $0\leq \theta \leq \pi$ (i possibili valori di $d_a(x,y)$) noi abbiamo $\sqrt{2-2\cos(\theta)}=2\sin(\theta/2).$ Poi

$$ d_2(x,y) = \sqrt{2-2\cos(d_a(x,y))}=2\sin\left(\frac12 d_a(x,y)\right). \tag1 $$

Quindi se imposti $\delta = \sqrt{2-2\cos(\epsilon )}=2\sin(\epsilon /2),$ è possibile dimostrarlo

$$ d_a(x,y) < \epsilon \iff d_2(x,y) = \sqrt{2-2\cos(d_a(x,y))} < \delta$$ e $$d_a(x,y) < \epsilon \iff d_2(x,y) = 2\sin\left(\frac12 d_a(x,y)\right) < \delta.$$

Il tuo primo tentativo ha appena dimostrato una di quelle doppie implicazioni in una direzione, e non è stata la direzione di cui avevi veramente bisogno.

Dall'equazione $(1)$ è evidente che $d_a(x,y) = 2\sin^{-1}\left(\frac12 d_2(x,y)\right)$(esattamente come hai trovato), quindi il tuo secondo tentativo mi sembra a posto. Di nuovo potresti provare l'implicazione in entrambe le direzioni, ma questa volta l'hai fatto nella direzione che ti serve.

Spesso mi piace ricordare alle persone che non è necessario utilizzare il maggior valore possibile di$\delta$; un valore inferiore andrà bene per quanto riguarda il rigore della dimostrazione. Ma in questo caso non sembra esserci alcuna difficoltà a trattare i valori di$\delta$ hai scelto per ciascuno $\epsilon.$ La funzione arcoseno effettua effettivamente questa scelta $\delta$ facile come qualsiasi cosa potessi immaginare.