Particolare soluzione di equazioni alle derivate parziali

Question

Hai bisogno di aiuto per risolvere questo problema.

Trova la soluzione particolare dell'equazione differenziale $$u_y = (5x + 2)u$$ che soddisfa i dati $u(x, x^2) = x^3$.

Di solito cerco di trovare l'equazione caratteristica ma riesco solo a vedere $u_y$ Qui.

Answer 1

Trattiamo è come un'ODE, utilizzando un fattore integrale adeguato: $$ u_y(x,y)=(5x+2)u(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y} u_y(x,y)-\mathrm{e}^{-(5x+2)y}(5x+2)u(x,y)=0 \\ \quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)=f(x) $$ per qualche funzione $f(x)$ essere trovato.

Quindi $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x). $$ Adesso, $u(x,x^2)=x^3$, lo fornisce $$ x^3=u(x,x^2)=\mathrm{e}^{(5x+2)x^2}f(x) $$ e quindi $$ f(x)=\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3 $$ Del tutto $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3= \mathrm{e}^{(5x+2)(y-x^2)}x^3. $$