Per quali valori di$\alpha$è {$z_n$} una sequenza limitata?
Dove$\alpha$è una costante reale, considera la sequenza {$z_n$} definito da$z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. Per quale valore di$\alpha$è {$z_n$} una sequenza limitata?
Come inizio con questo tipo di domande? penso che$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$la successione è convergente e quindi limitata, ma come la scrivo?
Risposte
Se$\alpha=0$,$(z_n)$è costante, quindi limitato.
Se$\alpha>0$,$(z_n)$converge a 0 ed è quindi limitato.
Se$\alpha<0$,$(z_n)$diverge a$+\infty$ed è quindi illimitato.
Come ho affermato nel commento, hai la risposta corretta. L'unico compito rimanente è dare una spiegazione formale della risposta. Un modo per scrivere una risposta è il seguente:
Innanzitutto, notiamo che la funzione$f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$definito da$f(x) = x^{\beta}$soddisfa$$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$Sospetto che tu non abbia bisogno di dimostrare formalmente questa affermazione: è probabile che ci sia un'affermazione nel libro di testo a cui puoi fare riferimento.
Stabilito ciò, affronta il problema in$3$casi: nel caso che$\alpha < 0$, concludere utilizzando il fatto di cui sopra che$\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, il che significa che la sequenza non è limitata. Nel caso che$\alpha = 0$, concluderlo$z_n \to 0$, il che significa che la successione è convergente ed è quindi limitata. Allo stesso modo, se$\alpha > 0$, concluderlo$z_n \to 0$, il che significa che la successione è convergente e quindi limitata.
Quindi, concludiamo che la successione è limitata se e solo se$\alpha \geq 0$.